2 sin^2 y - 7 cos y + 2 = 0
Давайте решим уравнение \( 2 \sin^2 y - 7 \cos y + 2 = 0 \).
Первым делом, воспользуемся тригонометрической идентичностью: \( \sin^2 y = 1 - \cos^2 y \). Подставив это в уравнение, получим:
\[ 2 (1 - \cos^2 y) - 7 \cos y + 2 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 2 - 2 \cos^2 y - 7 \cos y + 2 = 0 \]
Упростим:
\[ -2 \cos^2 y - 7 \cos y + 4 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы упростить:
\[ 2 \cos^2 y + 7 \cos y - 4 = 0 \]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 2 \), \( b = 7 \), \( c = -4 \).
Формула корней выглядит так:
\[ \cos y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ \cos y = \frac{-7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} \]
Теперь посчитаем дискриминант:
\[ \sqrt{49 + 32} = \sqrt{81} = 9 \]
Теперь подставляем это обратно в формулу:
\[ \cos y = \frac{-7 \pm 9}{4} \]
Это дает два значения:
- \( \cos y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
- \( \cos y = \frac{-16}{4} = -4 \) (это значение не подходит, так как косинус не может превышать 1 или быть меньше -1).
Теперь мы просто решаем для \( \cos y = \frac{1}{2} \):
\[ y = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \]
где \( k \) — любое целое число.
Таким образом, мы нашли решения уравнения! Если у вас есть дополнительные вопросы по тригонометрии или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
