Чтобы решить уравнение ( 2a^4 - 13a^2 + 11 = 0 ) методом замены переменной, начнем с подстановки. Давайте обозначим ( x = a^2 ). Таким образом, у нас получится следующее уравнение:
[
2x^2 - 13x + 11 = 0
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 2 ), ( b = -13 ) и ( c = 11 ):
[
D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 169 - 88 = 81
]
Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два разных корня. Теперь найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x_{1, 2} = \frac{13 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 9}{4}
]
Теперь вычислим корни:
- Для ( x_1 ):
[
x_1 = \frac{13 + 9}{4} = \frac{22}{4} = 5.5
]
- Для ( x_2 ):
[
x_2 = \frac{13 - 9}{4} = \frac{4}{4} = 1
]
Теперь у нас есть два значения для ( x ): ( x_1 = 5.5 ) и ( x_2 = 1 ). Но не забывайте, что мы подставили ( x = a^2 ).
Теперь найдем ( a ):
- Для ( x_1 = 5.5 ):
[
a^2 = 5.5 \quad \Rightarrow \quad a = \pm \sqrt{5.5} \approx \pm 2.35
]
- Для ( x_2 = 1 ):
[
a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1
]
Таким образом, окончательные решения уравнения ( 2a^4 - 13a^2 + 11 = 0 ):
[
a \approx \pm 2.35, \quad a = \pm 1
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими уравнениями, не стесняйтесь спрашивать!
