Обозначим скорость катера вStill (без течения) за ( v_k ) км/ч.
Когда катер движется по течению реки, его скорость будет равна ( v_k + 4 ) км/ч (из-за течения реки, которое добавляет 4 км/ч).
Сначала определим время, затраченное на путь по реке:
[
t_{река} = \frac{15}{v_k + 4}
]
Теперь определим время, затраченное на путь по озеру:
[
t_{озеро} = \frac{4}{v_k}
]
Согласно условию, общее время пути составляет 1 час:
[
t_{река} + t_{озеро} = 1
]
Подставляем выражения для времён:
[
\frac{15}{v_k + 4} + \frac{4}{v_k} = 1
]
Умножим уравнение на ( v_k(v_k + 4) ) для устранения знаменателей:
[
15v_k + 4(v_k + 4) = v_k(v_k + 4)
]
Распределим множители:
[
15v_k + 4v_k + 16 = v_k^2 + 4v_k
]
Объединим все члены:
[
19v_k + 16 = v_k^2 + 4v_k
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
0 = v_k^2 - 15v_k - 16
]
Решаем квадратное уравнение методом дискриминанта:
[
D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289
]
Находим корни:
[
v_k = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}
]
Решения:
- ( v_k = \frac{32}{2} = 16 ) км/ч (пригодное значение)
- ( v_k = \frac{-2}{2} = -1 ) км/ч (недопустимое значение)
Таким образом, скорость катера вStill:
( v_k = 16 ) км/ч.
Теперь найдём скорость катера по озеру:
Скорость катера по озеру равна ( v_k = 16 ) км/ч.
Таким образом, скорость катера при движении по озеру равна 16 км/ч.
