В равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC проведена медиана BM, равная 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если угол MBC равен 45° .

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, где BM — медиана, равная 8 см, и угол MBC равен 45°, можно найти площадь треугольника следующим образом:

1. Поскольку BM — медиана, она разделяет основание AC на два равных отрезка, то есть AM = MC. Обозначим длину AM как x см. Тогда AC = 2x см.

2. В треугольнике BMC, который является прямоугольным (угол MBC равен 45°), можем использовать свойства треугольника. По теореме о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике: BM = CM * √2.

3. Поскольку BM = 8 см, то: \[ CM = \frac{BM}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см}. \]

4. Учитывая, что CM = x, мы получаем: \[ x = 4\sqrt{2} \text{ см}. \] Значит, длина основания AC равна: \[ AC = 2x = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}. \]

5. Теперь находим высоту BM, которая равна 8 см. Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. \]

6. Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8. \]

7. Вычисляем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \text{ см}^2. \]

Следовательно, площадь треугольника ABC равна \( 32\sqrt{2} \) см².