Конечно! Давайте разберёмся с вашими выражениями и тождеством.
2. Упростите выражения:
a) ( \tan B \cdot \cot B - \sin^2 B )
Используем свои знания тригонометрии. Напомним, что:
- ( \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} )
- ( \cot B = \frac{\cos B}{\sin B} )
Таким образом:
[
\tan B \cdot \cot B = \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\cos B}{\sin B} = 1
]
Следовательно:
[
\tan B \cdot \cot B - \sin^2 B = 1 - \sin^2 B
]
По известной тригонометрической идентичности ( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 ), следовательно, ( 1 - \sin^2 B = \cos^2 B ).
Итак, упрощённое выражение:
[
\cos^2 B
]
б) ( \sin^2 a + \cos a \tan a )
Сначала вспомним, что ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ):
[
\cos a \tan a = \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a
]
Теперь подставим это обратно в выражение:
[
\sin^2 a + \sin a
]
Мы можем факторизовать это выражение:
[
\sin a (\sin a + 1)
]
Итак, упрощённое выражение:
[
\sin a (\sin a + 1)
]
3. Докажите тождество:
[
\frac{1 + \cot a - \cot a}{1 + \tan a}
]
Прежде всего, упростим числитель:
[
1 + \cot a - \cot a = 1
]
Теперь у нас остаётся:
[
\frac{1}{1 + \tan a}
]
Теперь вспомним, что ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ), тогда:
[
1 + \tan a = 1 + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a}
]
Таким образом, получаем:
[
\frac{1}{1 + \tan a} = \frac{\cos a}{\cos a + \sin a}
]
Итак, в общем виде мы доказали, что:
[
\frac{1 + \cot a - \cot a}{1 + \tan a} = \frac{\cos a}{\cos a + \sin a}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
