(x-3)(x²-8x+16)/(2-x)² < 0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(x - 3)(x^2 - 8x + 16)}{(2 - x)^2} < 0\), давайте разберем его по частям.
Разложение выражений:
В числителе: \(x^2 - 8x + 16\) можно разложить как \((x - 4)^2\). Таким образом, числитель становится: \[ (x - 3)(x - 4)^2 \]
В знаменателе: \((2 - x)^2\) – это квадрат, который всегда положителен, за исключением случая, когда \(x = 2\), где он равен нулю. Поэтому мы можем исключить \(x = 2\) из области определения, так как в этом случае выражение не имеет смысла.
Область определения: Мы определяем, что \(x \neq 2\).
Нули числителя: Нули находятся, когда числитель равен нулю: \[ (x - 3)(x - 4)^2 = 0 \] Это дает нам нули при \(x = 3\) и \(x = 4\).
Знак выражения: Теперь мы исследуем знак всего выражения в различных интервалах, разделенных найденными значениями: \(x = 3\), \(x = 4\), и \(x = 2\), проанализируем интервалы:
- \( (-\infty, 2) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Таблица знаков:
- Для \(x < 2\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 - 3)(0 - 4)^2 > 0 \quad (выражение положительное) \]
- Для \(2 < x < 3\) (например, \(x = 2.5\)): \[ (2.5 - 3)(2.5 - 4)^2 < 0 \quad (выражение отрицательное) \]
- Для \(3 < x < 4\) (например, \(x = 3.5\)): \[ (3.5 - 3)(3.5 - 4)^2 > 0 \quad (выражение положительное) \]
- Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \[ (5 - 3)(5 - 4)^2 > 0 \quad (выражение положительное) \]
Результат: Мы ищем значения \(x\), для которых выражение меньше нуля. Это происходит в интервале \( (2, 3) \).
Таким образом, решение неравенства \(\frac{(x - 3)(x^2 - 8x + 16)}{(2 - x)^2} < 0\) будет: \[ x \in (2, 3) \]
Если у вас есть ещё вопросы по этому материалу, не стесняйтесь задавать!
