(x-3)(x²-8x+16)/(2-x)² ≤ 0
Рассмотрим неравенство \((x-3)(x^2-8x+16)/(2-x)^2 \leq 0\).
Упрощение выражения: Начнем с упрощения. Обратите внимание, что \(x^2-8x+16\) можно факторизовать: \[ x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2. \] Поэтому, наше неравенство можно переписать как: \[ \frac{(x-3)(x-4)^2}{(2-x)^2} \leq 0. \]
Анализ знаков: Теперь определим, при каких значениях \(x\) числитель и знаменатель неравенства равны нулю или меняют знак.
Числитель:
- \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\),
- \((x-4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4\) (квадрат всегда неотрицательный, изменяет знак в точке \(x = 4\)).
Знаменатель:
- \((2-x)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\) (знаменатель никогда не может быть отрицательным, так как это квадрат).
Точки и интервалы: Определим ключевые точки: \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 4\). Эти точки разбивают числовую ось на 4 интервала:
- \((-∞, 2)\),
- \((2, 3)\),
- \((3, 4)\),
- \((4, +∞)\).
Тестирование интервалов: Теперь протестируем каждый интервал на знак.
Для \(x < 2\), например \(x = 0\): \[ \frac{(0-3)(0-4)^2}{(2-0)^2} = \frac{(-3)(16)}{4} < 0. \]
Для \(2 < x < 3\), например \(x = 2.5\): \[ \frac{(2.5-3)(2.5-4)^2}{(2-2.5)^2} = \frac{(-0.5)(2.25)}{0.25} < 0. \]
Для \(3 < x < 4\), например \(x = 3.5\): \[ \frac{(3.5-3)(3.5-4)^2}{(2-3.5)^2} = \frac{(0.5)(0.25)}{2.25} > 0. \]
Для \(x > 4\), например \(x = 5\): \[ \frac{(5-3)(5-4)^2}{(2-5)^2} = \frac{(2)(1)}{9} > 0. \]
Собираем результаты: Теперь мы можем определить, где неравенство выполняется. Оно меньше или равно нулю на интервалах:
- \((-∞, 2)\) и \((2, 3]\). При \(x = 3\) значение равно нулю, следовательно, оно включается в решение.
Ответ: Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ (-∞, 2) \cup (2, 3]. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь обращаться!
