Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 30.

Чтобы ответить на вопрос о вероятности того, что трехзначное число делится на 30, сначала определим условия делимости на 30.

Число делится на 30, если оно делится на 3 и на 10.

1. Делимость на 10: Трехзначное число должно заканчиваться на 0.
2. Делимость на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Теперь рассмотрим трехзначные числа, заканчивающиеся на 0. Трехзначные числа варьируются от 100 до 999. Если число заканчивается на 0, то его можно записать в виде \( x0 \), где \( x \) — двузначное число от 10 до 99. Таким образом, трехзначные числа, заканчивающиеся на 0, будут выглядеть так: 100, 110, 120, ..., 990.

Теперь найдем количество таких чисел:

• Первое число: 100
• Последнее число: 990
• Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 100 и последним членом 990, где шаг равен 10.

Количество членов данной прогрессии можно найти по формуле для \( n \)-ого члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Где:

• \( a_n = 990 \)
• \( a_1 = 100 \)
• \( d = 10 \)

Решаем уравнение: \[ 990 = 100 + (n-1)10 \] \[ 890 = (n-1)10 \] \[ n-1 = 89 \implies n = 90 \]

Итак, существует 90 трехзначных чисел, заканчивающихся на 0.

Теперь найдем, сколько из них делятся на 3. Если число имеет вид \( x0 \), то сумма его цифр равна \( S(x) + 0\), где \( S(x) \) — сумма цифр двузначного числа \( x \).

Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы \( S(x) \) делилась на 3. Мы можем посмотреть на двузначные числа \( 10, 11, ..., 99 \) и найти, сколько из них дают сумму цифр, делящуюся на 3.

Количество двузначных чисел от 10 до 99 составляет:

• \( 99 - 10 + 1 = 90 \).

Теперь необходимо проверить делимость на 3: Каждая третья цифра будет делиться на 3. Давайте определим все суммы:

• 10: 1 + 0 = 1
• 11: 1 + 1 = 2
• 12: 1 + 2 = 3
• ...
• 99: 9 + 9 = 18

Суммируем:

• 12, 15, 18, 21, ..., 90 те, которые имеют сумму, делящуюся на 3.

Это арифметическая последовательность с первым элементом 12 и последним 99. Коэффициент первого члена:

• \( a_1 = 12 \)
• \( a_2 = 15 \)
• ....
• \( a_n = 99 \)

Итак, количество чисел, делящихся на 3: Находим количество таких чисел: \((99-12)/3 + 1 = 30\)

Теперь вероятность того, что трехзначное число делится на 30: Сначала общее количество трехзначных чисел: \[ 999 - 100 + 1 = 900. \] Теперь делим число подходящих чисел (30) на общее количество трехзначных чисел (900):

Вероятность \( P \): \[ P = \frac{30}{900} = \frac{1}{30}. \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 30, составляет \( \frac{1}{30} \).