Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 30.

Чтобы ответить на вопрос о вероятности того, что трехзначное число делится на 30, сначала определим условия делимости на 30. Число делится на 30, если оно делится на 3 и на 10. 1. **Делимость на 10**: Трехзначное число должно заканчиваться на 0. 2. **Делимость на 3**: Сумма цифр числа должна делиться на 3. Теперь рассмотрим трехзначные числа, заканчивающиеся на 0. Трехзначные числа варьируются от 100 до 999. Если число заканчивается на 0, то его можно записать в виде \( x0 \), где \( x \) — двузначное число от 10 до 99. Таким образом, трехзначные числа, заканчивающиеся на 0, будут выглядеть так: 100, 110, 120, ..., 990. Теперь найдем количество таких чисел: - Первое число: 100 - Последнее число: 990 - Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 100 и последним членом 990, где шаг равен 10. Количество членов данной прогрессии можно найти по формуле для \( n \)-ого члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Где: - \( a_n = 990 \) - \( a_1 = 100 \) - \( d = 10 \) Решаем уравнение: \[ 990 = 100 + (n-1)10 \] \[ 890 = (n-1)10 \] \[ n-1 = 89 \implies n = 90 \] Итак, существует 90 трехзначных чисел, заканчивающихся на 0. Теперь найдем, сколько из них делятся на 3. Если число имеет вид \( x0 \), то сумма его цифр равна \( S(x) + 0\), где \( S(x) \) — сумма цифр двузначного числа \( x \). Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы \( S(x) \) делилась на 3. Мы можем посмотреть на двузначные числа \( 10, 11, ..., 99 \) и найти, сколько из них дают сумму цифр, делящуюся на 3. Количество двузначных чисел от 10 до 99 составляет: - \( 99 - 10 + 1 = 90 \). Теперь необходимо проверить делимость на 3: Каждая третья цифра будет делиться на 3. Давайте определим все суммы: - 10: 1 + 0 = 1 - 11: 1 + 1 = 2 - 12: 1 + 2 = 3 - ... - 99: 9 + 9 = 18 Суммируем: - 12, 15, 18, 21, ..., 90 те, которые имеют сумму, делящуюся на 3. Это арифметическая последовательность с первым элементом 12 и последним 99. Коэффициент первого члена: - \( a_1 = 12 \) - \( a_2 = 15 \) - .... - \( a_n = 99 \) Итак, количество чисел, делящихся на 3: Находим количество таких чисел: \((99-12)/3 + 1 = 30\) Теперь вероятность того, что трехзначное число делится на 30: Сначала общее количество трехзначных чисел: \[ 999 - 100 + 1 = 900. \] Теперь делим число подходящих чисел (30) на общее количество трехзначных чисел (900): Вероятность \( P \): \[ P = \frac{30}{900} = \frac{1}{30}. \] Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 30, составляет \( \frac{1}{30} \).