апофем правильной треугольной пирамиды равна 8 см а двугранный угол при основании равен 30 Найдите площадь боковой поверхности пирамиды
Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно учитывать, что боковая поверхность состоит из трех равнобедренных треугольников, каждая из которых имеет общую вершину — верхнюю точку пирамиды.
Найдем длину стороны основания: У нас есть апофема \( h = 8 \) см и двугранный угол при основании \( \alpha = 30^\circ \). Двугранный угол связан с радиусом описанной окружности треугольника, и его можно выразить через тангенс.
Так как треугольник, образованный апофемой и половиной стороны основания, является прямоугольным, мы можем использовать тригонометрические соотношения:
\[ \tan(\alpha) = \frac{a/2}{h} \]
Подставив значения:
\[ \tan(30^\circ) = \frac{a/2}{8} \]
Зная, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), получаем:
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a/2}{8} \]
Упрощаем и находим сторону основания \( a \):
\[ a = 16 \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \]
Найдем площадь боковой поверхности: Площадь одного бокового треугольника равен:
\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_t \]
где \( h_t \) — это высота бокового треугольника. Мы знаем, что высота \( h_t \) равна апофеме \( h \).
Подставив значения:
\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 8 = \frac{64\sqrt{3}}{3} \]
Суммарная площадь боковой поверхности: Поскольку боковая поверхность состоит из трех таких треугольников, общая площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок. пов.}} = 3 \cdot S_{\text{треугольник}} = 3 \cdot \frac{64\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3} \]
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 64\sqrt{3} \) см².
