Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании треугольной призмы, равны  4 4 и  6 6. Боковое ребро призмы равно  3 π . π 3 ​ . Найди объём цилиндра, который описан около этой призмы

Чтобы найти объём описанного цилиндра, сначала определим необходимые параметры. 1. **Найдём площадь основания треугольной призмы**, которая представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \] где \( a \) и \( b \) — это длины катетов. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = \frac{1}{2} \times 24 = 12. \] 2. **Найдём высоту цилиндра**, которая равна длине бокового ребра призмы. Значит, высота \( h = 3\pi \). 3. **Теперь найдём радиус описанного цилиндра**. Радиус \( R \) цилиндра, описанного около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. \] Следовательно, радиус \( R \) будет: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}. \] 4. **Теперь можем найти объём цилиндра** по формуле: \[ V = \pi R^2 h, \] где \( R \) — радиус, а \( h \) — высота. Подставляем значения: \[ V = \pi (\sqrt{13})^2 (3\pi) = \pi \cdot 13 \cdot 3\pi = 39\pi^2. \] Таким образом, объём описанного цилиндра равен \( 39\pi^2 \) кубических единиц.