найти вторую производную y=xsins

Чтобы найти вторую производную функции \( y = x \sin(x) \), сначала найдем первую производную.

1. Находжение первой производной:

Дадим внимание правилу произведения. Если \( u = x \) и \( v = \sin(x) \), то: \[ \frac{dy}{dx} = u'v + uv' \] где \( u' = 1 \), а \( v' = \cos(x) \).

Теперь подставим значения: \[ \frac{dy}{dx} = (1) \sin(x) + (x)(\cos(x)) = \sin(x) + x \cos(x) \]

2. Находжение второй производной:

Теперь найдем первую производную \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) + x \cos(x) \) еще раз, также применяя правило произведения на втором слагаемом.

Первая часть: \[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \]

Вторая часть: \[ \frac{d}{dx}(x \cos(x)) = u'v + uv' = (1)(\cos(x)) + (x)(-\sin(x)) = \cos(x) - x \sin(x) \]

Теперь объединим оба результата для нахождения второй производной: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \cos(x) + (\cos(x) - x \sin(x)) \] \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2\cos(x) - x\sin(x) \]

Таким образом, вторая производная функции \( y = x \sin(x) \) равна: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \cos(x) - x \sin(x) \]