Постройте график функции y=((0,5x²+x)|x|)/x+2 Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Для построения графика функции \( y = \frac{(0,5x^2 + x)|x|}{x} + 2 \) начнем с упрощения выражения.

1. Упрощение функции: Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( x \):
   • Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \).
   • Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \).

Таким образом:

• Если \( x \geq 0 \): \[ y = \frac{(0,5x^2 + x)x}{x} + 2 = 0,5x^2 + x + 2. \]

• Если \( x < 0 \): \[ y = \frac{(0,5x^2 + x)(-x)}{x} + 2 = -(0,5x^2 + x) + 2 = -0,5x^2 - x + 2. \]

Теперь имеем две части функции:

• Для \( x \geq 0 \): \( y = 0,5x^2 + x + 2 \).
• Для \( x < 0 \): \( y = -0,5x^2 - x + 2 \).

2. Построение графика: Для построения графика функции, нужно исследовать обе части отдельно.

• Для \( x \geq 0 \):

  • Это парабола, которая открыта вверх. Значение функции при \( x = 0 \) равно: \[ y(0) = 0,5 \cdot 0^2 + 0 + 2 = 2. \]
  • При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \).

• Для \( x < 0 \):

  • Это также парабола, но открыта вниз. Значение функции при \( x = 0 \) также равно 2, как и в предыдущем случае.
  • При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).

3. Определение значений \( m \): Чтобы прямая \( y = m \) не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы \( m \) находилось вне диапазона значений функции.

Обратим внимание, что:

• При \( x \geq 0 \) функция \( y \) принимает значения от 2 до \( +\infty \).
• При \( x < 0 \) функция \( y \) не превышает 2, достигая значения 2 на границе \( x = 0 \) и стремится к \( -\infty \).

Таким образом, прямая \( y = m \) не будет пересекаться с графиком функции, если: \[ m < -\infty \quad \text{или} \quad m > 2. \]

В результате, прямая \( y = m \) не имеет ни одной общей точки с графиком функции, когда \( m > 2 \).