Для решения задачи о прямоугольнике, у которого периметр равен 32, а площадь 48, воспользуемся формулами периметра и площади прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), где ( a ) — большая сторона, а ( b ) — меньшая.
Формула для периметра прямоугольника:
[
P = 2(a + b) = 32
]
Делим обе стороны на 2:
[
a + b = 16
]
Формула для площади прямоугольника:
[
S = a \cdot b = 48
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( a + b = 16 )
- ( a \cdot b = 48 )
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = 16 - a
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
a \cdot (16 - a) = 48
]
Это уравнение можно привести к квадратному виду:
[
16a - a^2 = 48
]
[
-a^2 + 16a - 48 = 0
]
Умножим уравнение на -1:
[
a^2 - 16a + 48 = 0
]
Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -16 ), ( c = 48 ):
[
a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}
]
[
a = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2}
]
[
a = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2}
]
[
a = \frac{16 \pm 8}{2}
]
Теперь решим для двух случаев:
- ( a = \frac{24}{2} = 12 )
- ( a = \frac{8}{2} = 4 )
Теперь подставим найденные значения ( a ) в уравнение для ( b ):
- Если ( a = 12 ), тогда ( b = 16 - 12 = 4 ).
- Если ( a = 4 ), тогда ( b = 16 - 4 = 12 ).
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 и 4. Следовательно, большая сторона равна 12.
