Чтобы определить предложение с одним второстепенным членом, давайте проанализируем каждое из предложений:
Завтра начнутся долгожданные каникулы – здесь "завтра" является второстепенным членом (обстоятельством времени), а "долгожданные каникулы" – это подлежащее и сказуемое. В этом предложении один второстепенный член.
Птицам, летящим издалека, требовался отдых – в этом случае "летящим издалека" является обособленным приложением, а "птицам" и "отдых" – это подлежащее и сказуемое соответственно. Здесь два второстепенных члена.
Пришли Ивановы и Стариковы – в этом предложении отсутствуют второстепенные члены; оно состоит только из подлежащего и сказуемого.
Мне стало радостно – "мне" здесь является второстепенным членом (обстоятельством), а "стало радостно" – составное сказуемое. Это одно второстепенное член.
Таким образом, ответ: 1) Завтра начнутся долгожданные каникулы или 4) Мне стало радостно. Оба предложения содержат только один второстепенный член.