x²-2x/x-6+12/x-5+96/x²-11x+30=X+1
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{x^2 - 2x}{x - 6} + \frac{12}{x - 5} + \frac{96}{x^2 - 11x + 30} = x + 1 \]
Сначала упростим каждое выражение. Начнем с третьего слагаемого: \(x^2 - 11x + 30\) можно разложить на множители. Найдем два числа, которые при умножении дают 30, а при сложении — -11. Это -6 и -5.
Таким образом, мы имеем:
\[ x^2 - 11x + 30 = (x - 6)(x - 5) \]
Теперь мы можем переписать уравнение:
\[ \frac{x^2 - 2x}{x - 6} + \frac{12}{x - 5} + \frac{96}{(x - 6)(x - 5)} = x + 1 \]
Сначала объединим дроби:
\[ \frac{(x^2 - 2x)(x - 5) + 12(x - 6) + 96}{(x - 6)(x - 5)} = x + 1 \]
Теперь упростим числитель:
Умножим \(x^2 - 2x\) на \(x - 5\): \[ (x^2 - 2x)(x - 5) = x^3 - 5x^2 - 2x^2 + 10x = x^3 - 7x^2 + 10x \]
Умножим \(12\) на \((x - 6)\): \[ 12(x - 6) = 12x - 72 \]
Сложим все слагаемые: \[ x^3 - 7x^2 + 10x + 12x - 72 + 96 = x^3 - 7x^2 + 22x + 24 \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{x^3 - 7x^2 + 22x + 24}{(x - 6)(x - 5)} = x + 1 \]
Умножим обе стороны на \((x - 6)(x - 5)\):
\[ x^3 - 7x^2 + 22x + 24 = (x + 1)(x - 6)(x - 5) \]
Теперь вычислим правую часть. Упрощаем:
\[ (x + 1)(x - 6)(x - 5) = (x + 1)(x^2 - 11x + 30) \]
Раскроем скобки:
\[ x^3 - 11x^2 + 30x + x^2 - 11x + 30 = x^3 - 10x^2 + 19x + 30 \]
Теперь сопоставим обе стороны:
\[ x^3 - 7x^2 + 22x + 24 = x^3 - 10x^2 + 19x + 30 \]
Упростим:
\[ 0 = -3x^2 - 3x + 6 \]
Это уравнение можно упростить, разделив всё на -3:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 1\), и \(c = -2\):
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 \]
Ответ: \(x = 1\) и \(x = -2\). Убедитесь, что оба решения не приводят к делению на ноль в исходных дробях.
