В основании прямого параллелепипеда лежит квадрат. Боковая сторона в 6 раз больше стороны основания. Найти косинус угла между скрещивающимися диагоналями двух смежных боковых…

Обозначим сторону основания квадрата как \( a \). Тогда высота параллелепипеда \( h \) равна \( 6a \).

Теперь найдём координаты вершин параллелепипеда. Пусть нижняя грань параллелепипеда будет расположена в плоскости \( z = 0 \). Вершины нижней грани будут:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(a, 0, 0) \)
• \( C(a, a, 0) \)
• \( D(0, a, 0) \)

Вершины верхней грани будут соответственно:

• \( A'(0, 0, h) \)
• \( B'(a, 0, h) \)
• \( C'(a, a, h) \)
• \( D'(0, a, h) \)

Рассмотрим две смежные боковые грани: \( A'B'C'B' \) и \( A'D'C'A \).

Диагонали этих боковых граней:

• Для грани \( A'B'C' \) диагональ \( A'C' \)
• Для грани \( A'D'C \) диагональ \( A'D \)

Теперь найдем векторы диагоналей:

• Вектор диагонали \( A'C' \): \[ \overrightarrow{A'C'} = (a, a, h) - (0, 0, h) = (a, a, 0) \]
• Вектор диагонали \( A'D \): \[ \overrightarrow{A'D} = (0, a, 0) - (0, 0, h) = (0, a, -h) \]

Теперь мы можем найти косинус угла между этими векторами, используя скалярное произведение. Скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{A'C'} \) и \( \overrightarrow{A'D} \): \[ \overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{A'D} = (a, a, 0) \cdot (0, a, -h) = 0 \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot (-h) = a^2 \]

Теперь найдём длины векторов: \[ |\overrightarrow{A'C'}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{A'D}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{a^2 + (6a)^2} = \sqrt{a^2 + 36a^2} = \sqrt{37a^2} = a\sqrt{37} \]

Теперь подставим данные значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{A'D}}{|\overrightarrow{A'C'}| |\overrightarrow{A'D}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{37})} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{74}} = \frac{1}{\sqrt{74}} \]

Таким образом, косинус угла между скрещивающимися диагоналями двух смежных боковых граней равен: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{74}}. \]