Обозначим сторону основания квадрата как ( a ). Тогда высота параллелепипеда ( h ) равна ( 6a ).
Теперь найдём координаты вершин параллелепипеда. Пусть нижняя грань параллелепипеда будет расположена в плоскости ( z = 0 ). Вершины нижней грани будут:
- ( A(0, 0, 0) )
- ( B(a, 0, 0) )
- ( C(a, a, 0) )
- ( D(0, a, 0) )
Вершины верхней грани будут соответственно:
- ( A'(0, 0, h) )
- ( B'(a, 0, h) )
- ( C'(a, a, h) )
- ( D'(0, a, h) )
Рассмотрим две смежные боковые грани: ( A'B'C'B' ) и ( A'D'C'A ).
Диагонали этих боковых граней:
- Для грани ( A'B'C' ) диагональ ( A'C' )
- Для грани ( A'D'C ) диагональ ( A'D )
Теперь найдем векторы диагоналей:
- Вектор диагонали ( A'C' ):
[
\overrightarrow{A'C'} = (a, a, h) - (0, 0, h) = (a, a, 0)
]
- Вектор диагонали ( A'D ):
[
\overrightarrow{A'D} = (0, a, 0) - (0, 0, h) = (0, a, -h)
]
Теперь мы можем найти косинус угла между этими векторами, используя скалярное произведение. Скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{A'C'} ) и ( \overrightarrow{A'D} ):
[
\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{A'D} = (a, a, 0) \cdot (0, a, -h) = 0 \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot (-h) = a^2
]
Теперь найдём длины векторов:
[
|\overrightarrow{A'C'}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
]
[
|\overrightarrow{A'D}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{a^2 + (6a)^2} = \sqrt{a^2 + 36a^2} = \sqrt{37a^2} = a\sqrt{37}
]
Теперь подставим данные значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{A'D}}{|\overrightarrow{A'C'}| |\overrightarrow{A'D}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{37})} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{74}} = \frac{1}{\sqrt{74}}
]
Таким образом, косинус угла между скрещивающимися диагоналями двух смежных боковых граней равен:
[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{74}}.
]
