Из большой партии изготовленных деталей по выборке объёма п найдена средняя арифметическая длины детали, равная Хв. Считая, что длина детали X- нормально распределенная случайная величина, найти доверительный интервал, который при уровне значимости α покрывает неизвестное математическое ожидание а длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение sigma = 0, 5 мм:
а) overline X_{B} = 50 мм; n = 64 a = 0,05
б) overline X_{B} = 51 мм; n = 49 a = 0,01
в) overline X_{B} = 52 мм; n = 36 a = 0,001
Чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания длины детали \( \mu \) при нормальном распределении, нам нужно использовать формулу доверительного интервала для среднего. Формула выглядит следующим образом:
\[
\overline{X} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
где:
- \( \overline{X} \) — выборочное среднее,
- \( z_{\frac{\alpha}{2}} \) — критическое значение стандартного нормального распределения,
- \( \sigma \) — известное стандартное отклонение,
- \( n \) — объем выборки.
Давайте найдем доверительные интервалы по предложенным вариантам:
### а) \( \overline{X} = 50 \) мм; \( n = 64 \); \( \alpha = 0,05 \)
1. Найдем критическое значение \( z_{\frac{\alpha}{2}} \) для \( \alpha = 0,05 \):
- \( z_{\frac{0,05}{2}} = z_{0,025} \approx 1,96 \).
2. Рассчитаем стандартную ошибку:
\[
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,5}{\sqrt{64}} = \frac{0,5}{8} = 0,0625 \text{ мм}.
\]
3. Теперь можем найти доверительный интервал:
\[
50 \pm 1,96 \cdot 0,0625 = 50 \pm 0,1225.
\]
Таким образом, доверительный интервал:
\[
(50 - 0,1225; 50 + 0,1225) = (49,8775; 50,1225) \text{ мм}.
\]
### б) \( \overline{X} = 51 \) мм; \( n = 49 \); \( \alpha = 0,01 \)
1. Найдем критическое значение \( z_{\frac{\alpha}{2}} \) для \( \alpha = 0,01 \):
- \( z_{\frac{0,01}{2}} = z_{0,005} \approx 2,576 \).
2. Рассчитаем стандартную ошибку:
\[
\text{SE} = \frac{0,5}{\sqrt{49}} = \frac{0,5}{7} \approx 0,0714 \text{ мм}.
\]
3. Найдем доверительный интервал:
\[
51 \pm 2,576 \cdot 0,0714 \approx 51 \pm 0,184.
\]
Доверительный интервал:
\[
(51 - 0,184; 51 + 0,184) = (50,816; 51,184) \text{ мм}.
\]
### в) \( \overline{X} = 52 \) мм; \( n = 36 \); \( \alpha = 0,001 \)
1. Найдем критическое значение \( z_{\frac{\alpha}{2}} \) для \( \alpha = 0,001 \):
- \( z_{\frac{0,001}{2}} = z_{0,0005} \approx 3,291 \).
2. Рассчитаем стандартную ошибку:
\[
\text{SE} = \frac{0,5}{\sqrt{36}} = \frac{0,5}{6} \approx 0,0833 \text{ мм}.
\]
3. Теперь можем найти доверительный интервал:
\[
52 \pm 3,291 \cdot 0,0833 \approx 52 \pm 0,274.
\]
Доверительный интервал:
\[
(52 - 0,274; 52 + 0,274) = (51,726; 52,274) \text{ мм}.
\]
Таким образом, полученные доверительные интервалы для каждого случая:
а) \( (49,8775; 50,1225) \) мм
б) \( (50,816; 51,184) \) мм
в) \( (51,726; 52,274) \) мм
