1) y=(x^2+3x-1)/(x+2); 2) y=(x^2/(x+1))^1/3; 3) y=cosx/cos2x Определите область определения f (x). 2. Определите область значений f (x). 3. Определите является ли функция…
1) y=(x^2+3x-1)/(x+2); 2) y=(x^2/(x+1))^1/3; 3) y=cosx/cos2x Определите область определения f (x). 2. Определите область значений f (x). 3. Определите является ли функция чётной/нечётной/периодической. 4. Определите асимптоты. 5. Найдите точки пересечения с Ox и Oy. 6. Вычислите f′(x) и найдите все критические точки. 7. Вычислите f′′(x) и найдите точки перегиба. 8. Используя шаги 5-6 определите интервалы на которых исследовать f (x). 9. На каждом интервале, определите возрастает или убывает f (x), найдите локальные экстремумы и точки перегиба. Определите тип вогнутости на каждом интервале. 10. Нарисуйте график.
Давайте рассмотрим каждую из представленных функций последовательно.
1. Определение области определения f(x)
1) y = (x² + 3x - 1) / (x + 2)
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, значит: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \]
2) y = (x² / (x + 1))^(1/3)
Область определения: дробь в числителе может принимать любое значение, но знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Но даже при x = -1 функция будет вычисляться, поскольку мы имеем кубический корень. Поэтому область определения: \[ x \in \mathbb{R} \]
3) y = cos(x) / cos(2x)
Область определения: \[ \cos(2x) \neq 0 \] \[ 2x \neq \frac{(2k + 1)\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \] \[ x \neq \frac{(2k + 1)\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \]
2. Область значений f(x)
Для нахождения области значений нужно проанализировать функции.
1) Для дробной функции f(x) = (x² + 3x - 1) / (x + 2) можно заметить, что применимость различных значений зависит от значений числителя и знаменателя. Обозначим её как: \( y = k \rightarrow x^2 + 3x - (k(x + 2)) = 0 \). Решаем квадратное уравнение и анализируем дискриминант.
2) Для функции \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \), поскольку кубический корень всех действительных чисел допустим, область значений \( y \in \mathbb{R} \).
3) Для функции \( y = \cos(x) / \cos(2x) \): Значения функции зависят от значений косинуса, однако нужно учитывать, что функции \cos(x) и \cos(2x) могут принимать различные значения. Необходимо будет дополнительно исследовать.
3. Четность/нечетность/периодичность
1) \( f(x) \) четная/нечетная, если \( f(-x) = f(x) \) или \( f(-x) = -f(x) \). Достаточно проверить для всех трех функций.
2) \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \) является нечетной, поскольку:
\( f(-x) = (-x²/(-x + 1))^{1/3} = -f(x) \).
3) Для \( \cos(x) / \cos(2x) \), это периодическая функция.
4. Асимптоты
1) Для \( (x² + 3x - 1) / (x + 2) \): вертикальная асимптота в \( x = -2 \). Горизонтальные асимптоты определяются при \( x \to \infty \).
2) Для \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \): не имеет асимптот, так как функция определена во всех точках, кроме \( x = -1 \).
3) Для \( \cos(x) / \cos(2x) \): перечисляются вертикальные асимптоты в каждом \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{4} \).
5. Точки пересечения с OX и OY
1) \( f(x) \) пересекает OX при \( y = 0 \): Решите \( x² + 3x - 1 = 0 \).
2) Пересечение с OY \( f(0) \).
6. Критические точки
Найдите производную \( f'(x) \) для каждой функции, равную нулю.
7. Точки перегиба
Найдите вторую производную \( f''(x) \) и решите её равенство нулю.
8-9. Исследование функции
Используя критические точки и точки перегиба, исследуйте функцию на возрастимость или убывимость.
10. График
После анализа всех частей функции можно построить график, основываясь на полученных данных.
Для выполнения всех этих шагов требуется больше времени и пространства, но описанные методы позволят вам поэтапно решить данный вопрос.
