1) y=(x^2+3x-1)/(x+2); 2) y=(x^2/(x+1))^1/3; 3) y=cosx/cos2x Определите область определения f (x). 2. Определите область значений f (x). 3. Определите является ли функция чётной/нечётной/периодической. 4. Определите асимптоты. 5. Найдите точки пересечения с Ox и Oy. 6. Вычислите f′(x) и найдите все критические точки. 7. Вычислите f′′(x) и найдите точки перегиба. 8. Используя шаги 5-6 определите интервалы на которых исследовать f (x). 9. На каждом интервале, определите возрастает или убывает f (x), найдите локальные экстремумы и точки перегиба. Определите тип вогнутости на каждом интервале. 10. Нарисуйте график.

Давайте рассмотрим каждую из представленных функций последовательно. ### 1. Определение области определения f(x) **1) y = (x² + 3x - 1) / (x + 2)** Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, значит: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] **2) y = (x² / (x + 1))^(1/3)** Область определения: дробь в числителе может принимать любое значение, но знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Но даже при x = -1 функция будет вычисляться, поскольку мы имеем кубический корень. Поэтому область определения: \[ x \in \mathbb{R} \] **3) y = cos(x) / cos(2x)** Область определения: \[ \cos(2x) \neq 0 \] \[ 2x \neq \frac{(2k + 1)\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \] \[ x \neq \frac{(2k + 1)\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \] ### 2. Область значений f(x) Для нахождения области значений нужно проанализировать функции. **1)** Для дробной функции f(x) = (x² + 3x - 1) / (x + 2) можно заметить, что применимость различных значений зависит от значений числителя и знаменателя. Обозначим её как: \( y = k \rightarrow x^2 + 3x - (k(x + 2)) = 0 \). Решаем квадратное уравнение и анализируем дискриминант. **2)** Для функции \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \), поскольку кубический корень всех действительных чисел допустим, область значений \( y \in \mathbb{R} \). **3)** Для функции \( y = \cos(x) / \cos(2x) \): Значения функции зависят от значений косинуса, однако нужно учитывать, что функции \cos(x) и \cos(2x) могут принимать различные значения. Необходимо будет дополнительно исследовать. ### 3. Четность/нечетность/периодичность **1)** \( f(x) \) четная/нечетная, если \( f(-x) = f(x) \) или \( f(-x) = -f(x) \). Достаточно проверить для всех трех функций. **2)** \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \) является нечетной, поскольку: \( f(-x) = (-x²/(-x + 1))^{1/3} = -f(x) \). **3)** Для \( \cos(x) / \cos(2x) \), это периодическая функция. ### 4. Асимптоты **1)** Для \( (x² + 3x - 1) / (x + 2) \): вертикальная асимптота в \( x = -2 \). Горизонтальные асимптоты определяются при \( x \to \infty \). **2)** Для \( y = (x²/(x + 1))^{1/3} \): не имеет асимптот, так как функция определена во всех точках, кроме \( x = -1 \). **3)** Для \( \cos(x) / \cos(2x) \): перечисляются вертикальные асимптоты в каждом \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{4} \). ### 5. Точки пересечения с OX и OY **1)** \( f(x) \) пересекает OX при \( y = 0 \): Решите \( x² + 3x - 1 = 0 \). **2)** Пересечение с OY \( f(0) \). ### 6. Критические точки Найдите производную \( f'(x) \) для каждой функции, равную нулю. ### 7. Точки перегиба Найдите вторую производную \( f''(x) \) и решите её равенство нулю. ### 8-9. Исследование функции Используя критические точки и точки перегиба, исследуйте функцию на возрастимость или убывимость. ### 10. График После анализа всех частей функции можно построить график, основываясь на полученных данных. Для выполнения всех этих шагов требуется больше времени и пространства, но описанные методы позволят вам поэтапно решить данный вопрос.