Самостоятельная по теме «Уравнения с одной переменной». Вариант 2 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: a) 7 + 8x = -…

Конечно, давайте решим предложенные задачи по теме «Уравнения с одной переменной».

Задание 1: Решите уравнение.

a) \( 7 + 8x = -2x - 5 \)

1. Переносим все слагаемые с \(x\) в одну часть уравнения и свободные члены в другую: \[ 8x + 2x = -5 - 7 \] \[ 10x = -12 \]

2. Разделим обе стороны на 10: \[ x = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} \]

Таким образом, корень уравнения: \( x = -\frac{6}{5} \).

б) \( (x-1)(x+1) - 2(x^2-3) \)

1. Раскроем скобки: \[ (x^2 - 1) - 2(x^2 - 3) = 0 \] \[ x^2 - 1 - 2x^2 + 6 = 0 \]

2. Сложим подобные: \[ -x^2 + 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5} \]

Поскольку нужно записать меньший из корней, получаем: \( x = -\sqrt{5} \).

Задание 2: Решите уравнение.

a) \( x^3 - 64x = 0 \)

1. Вынесем общий множитель: \[ x(x^2 - 64) = 0 \]

2. Решим каждое из уравнений: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 64 = 0 \] \[ x^2 = 64 \implies x = \pm 8 \]

Корни уравнения: \( x = 0, x = -8, x = 8 \). Меньший из корней: \( x = -8 \).

б) \( 16x - 32x^2 - x + 2 = 0 \)

1. Приведем подобные: \[ -32x^2 + 15x + 2 = 0 \]

2. Умножим уравнение на -1 для удобства: \[ 32x^2 - 15x - 2 = 0 \]

3. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-2) = 225 + 256 = 481 \]

4. Находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{481}}{64} \]

Записываем корни уравнения, и меньший из них можно указать при необходимости.

Задание 3: Решите биквадратное уравнение.

a) \( 5x + 7x^2 - 12 = 0 \)

1. Запишем уравнение в стандартной форме: \[ 7x^2 + 5x - 12 = 0 \]

2. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 25 + 336 = 361 \]

3. Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 19}{14} \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{14}{14} = 1, \quad x_2 = \frac{-24}{14} = -\frac{12}{7} \]

Задание 4: Решите дробное рациональное уравнение.

a) \( 2 + \frac{8}{x - 3} = \frac{4}{x} \)

1. Умножим обе стороны на \(x(x-3)\) для устранения дробей: \[ 2x(x - 3) + 8x = 4(x - 3) \]

2. Раскроем скобки: \[ 2x^2 - 6x + 8x = 4x - 12 \] \[ 2x^2 - 4x + 12 = 0 \]

3. Решим это уравнение (при необходимости можно использовать дискриминант), и выбираем корни с пояснением.

Задание 5: Постановка задачи на движение.

Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Пусть скорость второго автомобиля - \( v \) км/ч, тогда скорость первого автомобиля \( v + 10 \) км/ч.

Расстояние между городами: 50 км.

1. Время, затраченное вторым автомобилем: \[ t_2 = \frac{50}{v} \]

2. Время, затраченное первым автомобилем: \[ t_1 = \frac{50}{v + 10} \]

3. По условию задачи: \[ t_2 = t_1 + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{50}{v} = \frac{50}{v + 10} + 1 \]

4. Умножим на \( v(v + 10) \) для устранения дробей: \[ 50(v + 10) = 50v + v(v + 10) \]

5. После преобразований: \[ 50v + 500 = 50v + v^2 + 10v \implies v^2 + 10v - 500 = 0 \]

Теперь находим дискриминант и корни для получения скоростей обоих автомобилей.

Итог

Вы можете использовать данный подход для завершения решения задач, и если будут какие-то вопросы по конкретным шагам, я с радостью помогу!