Конечно, давайте решим предложенные задачи по теме «Уравнения с одной переменной».
Задание 1: Решите уравнение.
a) ( 7 + 8x = -2x - 5 )
Переносим все слагаемые с (x) в одну часть уравнения и свободные члены в другую:
[
8x + 2x = -5 - 7
]
[
10x = -12
]
Разделим обе стороны на 10:
[
x = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}
]
Таким образом, корень уравнения: ( x = -\frac{6}{5} ).
б) ( (x-1)(x+1) - 2(x^2-3) )
Раскроем скобки:
[
(x^2 - 1) - 2(x^2 - 3) = 0
]
[
x^2 - 1 - 2x^2 + 6 = 0
]
Сложим подобные:
[
-x^2 + 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}
]
Поскольку нужно записать меньший из корней, получаем: ( x = -\sqrt{5} ).
Задание 2: Решите уравнение.
a) ( x^3 - 64x = 0 )
Вынесем общий множитель:
[
x(x^2 - 64) = 0
]
Решим каждое из уравнений:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 64 = 0
]
[
x^2 = 64 \implies x = \pm 8
]
Корни уравнения: ( x = 0, x = -8, x = 8 ). Меньший из корней: ( x = -8 ).
б) ( 16x - 32x^2 - x + 2 = 0 )
Приведем подобные:
[
-32x^2 + 15x + 2 = 0
]
Умножим уравнение на -1 для удобства:
[
32x^2 - 15x - 2 = 0
]
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-2) = 225 + 256 = 481
]
Находим корни по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{481}}{64}
]
Записываем корни уравнения, и меньший из них можно указать при необходимости.
Задание 3: Решите биквадратное уравнение.
a) ( 5x + 7x^2 - 12 = 0 )
Запишем уравнение в стандартной форме:
[
7x^2 + 5x - 12 = 0
]
Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 25 + 336 = 361
]
Находим корни:
[
x_{1,2} = \frac{-5 \pm 19}{14}
]
Таким образом:
[
x_1 = \frac{14}{14} = 1, \quad x_2 = \frac{-24}{14} = -\frac{12}{7}
]
Задание 4: Решите дробное рациональное уравнение.
a) ( 2 + \frac{8}{x - 3} = \frac{4}{x} )
Умножим обе стороны на (x(x-3)) для устранения дробей:
[
2x(x - 3) + 8x = 4(x - 3)
]
Раскроем скобки:
[
2x^2 - 6x + 8x = 4x - 12
]
[
2x^2 - 4x + 12 = 0
]
Решим это уравнение (при необходимости можно использовать дискриминант), и выбираем корни с пояснением.
Задание 5: Постановка задачи на движение.
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Пусть скорость второго автомобиля - ( v ) км/ч, тогда скорость первого автомобиля ( v + 10 ) км/ч.
Расстояние между городами: 50 км.
Время, затраченное вторым автомобилем:
[
t_2 = \frac{50}{v}
]
Время, затраченное первым автомобилем:
[
t_1 = \frac{50}{v + 10}
]
По условию задачи:
[
t_2 = t_1 + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{50}{v} = \frac{50}{v + 10} + 1
]
Умножим на ( v(v + 10) ) для устранения дробей:
[
50(v + 10) = 50v + v(v + 10)
]
После преобразований:
[
50v + 500 = 50v + v^2 + 10v \implies v^2 + 10v - 500 = 0
]
Теперь находим дискриминант и корни для получения скоростей обоих автомобилей.
Итог
Вы можете использовать данный подход для завершения решения задач, и если будут какие-то вопросы по конкретным шагам, я с радостью помогу!
