Вычислить значение предела lim x-0 (tg(x/3)²)/(xsin(x))

Чтобы вычислить предел

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2\left(\frac{x}{3}\right)}{x \sin(x)}, \]

воспользуемся некоторыми известными приближениями и свойствами пределов.

1. Рассмотрим числитель: \(\tan\left(\frac{x}{3}\right)\) можно разложить в ряд Тейлора при \(x \to 0\): \[ \tan\left(\frac{x}{3}\right) \approx \frac{x}{3} + O\left(\left(\frac{x}{3}\right)^3\right) = \frac{x}{3} + O(x^3). \] Таким образом, \[ \tan^2\left(\frac{x}{3}\right) \approx \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}. \]

2. Теперь рассмотрим знаменатель: \(\sin(x)\) также можно разложить в ряд Тейлора: \[ \sin(x) \approx x \quad \text{при } x \to 0. \]

Подставим эти приближения в предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2\left(\frac{x}{3}\right)}{x \sin(x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{9}}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{9}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{9} = \frac{1}{9}. \]

Ответ: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2\left(\frac{x}{3}\right)}{x \sin(x)} = \frac{1}{9}. \]