Отвечать

Привет! Давай разберёмся, как найти производную функции, которая у нас на картинке.

Функция выглядит так:

\[ y = \frac{\ln(\sqrt{x + a})}{\sqrt{x + b}} - \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{b}\right) \]

Разобьём решение на этапы:

1. Найти производную первой части:

   \[ \frac{\ln(\sqrt{x+a})}{\sqrt{x+b}} \]

   • Это частное, поэтому используем правило производной частного: производная первой части минус произведение производной второй на первую, всё делённое на квадрат второй части.
   • Также учитываем производные \(\ln\) и корня.

2. Найти производную второй части:

   \[ \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{b}\right) \]

   • Воспользуемся формулой производной арктангенса: для \(\operatorname{arctg}(u)'\) это будет 1/(1 + u^2).
   • Учитываем производную внутренней функции \(\frac{x}{b}\).

3. Сложить все производные из двух частей вместе.

Теперь, когда мы разобрались с планом, детально проделаем все шаги:

1. Первая часть:

   • Производная числителя: \(\frac{1}{\sqrt{x+a}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+a}} = \frac{1}{2(x+a)}\)
   • Производная знаменателя: \(\frac{1}{2\sqrt{x+b}}\)
   • Общая производная первой части: используем правило производной частного.

2. Вторая часть:

   • Производная \(\operatorname{arctg}\left(\frac{x}{b}\right)\): \(\frac{1}{1+(\frac{x}{b})^2} \cdot \frac{1}{b}\).

Сложив полученные производные, получим итоговую производную функции. Если нужно, пиши, я помогу с конкретными шагами!