В данном предложении необходимо поставить одну запятую между словами "однажды" и "вся".
Получится: "И однажды, вся весёлая семейка улетела на залитые солнцем речные отмели."
Обоснование выбора: "Однажды" здесь вводит обстоятельство времени, и его выделение запятой будет уместным, так как вводные слова или словосочетания, которые не являются частью основного сообщения, обычно выделяются знаками препинания.