Для решения неравенства (4^x - 2 \cdot 5^{2x} + 10^x > 0) сначала перепишем его в более удобной форме.
Заменим (4^x) и (10^x) через (2^x) и (5^x):
- (4^x = (2^2)^x = (2^x)^2)
- (10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x)
- (5^{2x} = (5^x)^2)
Таким образом, замены приводят к следующему неравенству:
[
(2^x)^2 - 2 \cdot (5^x)^2 + 2^x \cdot 5^x > 0
]
Обозначим (y = 2^x) и (z = 5^x). Тогда получаем:
[
y^2 - 2z^2 + yz > 0
]
Преобразуем в стандартный вид:
[
y^2 + yz - 2z^2 > 0
]
Это квантильное неравенство. Чтобы найти корни, решим уравнение:
[
y^2 + yz - 2z^2 = 0
]
Используем формулу дискриминанта для выражения (y):
[
D = z^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2z^2) = z^2 + 8z^2 = 9z^2
]
Корни будут:
[
y_1 = \frac{-z + 3z}{2} = z \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-z - 3z}{2} = -2z
]
Таким образом, неравенство можно переписать как:
[
(y - z)(y + 2z) > 0
]
Рассмотрим знаки произведения:
(y - z > 0 \Rightarrow 2^x > 5^x \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x > 1 \Rightarrow x < 0).
(y + 2z > 0) всегда верно, поскольку (y) и (z) положительны.
Решим неравенство:
[
(y - z) > 0 \Rightarrow x < 0
]
Таким образом, решением неравенства (4^x - 2 \cdot 5^{2x} + 10^x > 0) является:
[
x < 0
]
Ответ окончательно:
(x < 0).
