вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2х+1; у=0; х=1; х=2.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 2x + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = 2 \), давайте разберемся с графиками этих линий.

1. Найдем точки пересечения:

   • Линия \( y = 2x + 1 \) пересекает ось \( y \) в \( (0, 1) \).
   • Линия \( y = 0 \) соответствует оси \( x \).

2. Рисуем графики:

   • Линия \( y = 2x + 1 \) возрастает и проходит через точки \( (1, 3) \) и \( (2, 5) \).
   • Линия \( y = 0 \) (ось \( x \)) равна нулю.

3. Определяем границы интегрирования:

   • Мы рассматриваем область между \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

4. Вычисляем площадь: Площадь фигуры можно найти через определенный интеграл от функции \( y = 2x + 1 \) в интервале от \( x = 1 \) до \( x = 2 \):

   \[ S = \int_{1}^{2} (2x + 1) \, dx \]

   Теперь вычислим интеграл:

   \[ S = \left[ x^2 + x \right]_{1}^{2} \]

   Подставляем границы интегрирования:

   \[ S = \left[ (2^2 + 2) - (1^2 + 1) \right] \]

   \[ S = \left[ (4 + 2) - (1 + 1) \right] \]

   \[ S = (6 - 2) = 4 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 4 единицам площади.