Даны векторы m-> (— 4; 3) и n->(2; —1). Найдите значение k, при котором векторы km-> - n-> и n- > перпендикулярны.

Чтобы найти значение \( k \), при котором векторы \( \mathbf{km} - \mathbf{n} \) и \( \mathbf{n} \) перпендикулярны, воспользуемся тем фактом, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Запишем векторы:

   • \( \mathbf{m} = (-4; 3) \)
   • \( \mathbf{n} = (2; -1) \)
   • Тогда \( \mathbf{km} = k(-4; 3) = (-4k; 3k) \).

2. Найдем вектор \( \mathbf{km} - \mathbf{n} \): \[ \mathbf{km} - \mathbf{n} = (-4k - 2; 3k + 1). \]

3. Теперь найдем скалярное произведение \( (\mathbf{km} - \mathbf{n}) \) и \( \mathbf{n} \): \[ (-4k - 2; 3k + 1) \cdot (2; -1) = (-4k - 2) \cdot 2 + (3k + 1) \cdot (-1). \]

4. Раскроем скобки и упростим: \[ -8k - 4 - 3k - 1 = -11k - 5. \]

5. Установим уравнение равным нулю для условия перпендикулярности: \[ -11k - 5 = 0. \]

6. Решим уравнение: \[ -11k = 5 \implies k = -\frac{5}{11}. \]

Таким образом, значение \( k \), при котором векторы \( \mathbf{km} - \mathbf{n} \) и \( \mathbf{n} \) перпендикулярны, равно \( k = -\frac{5}{11} \).