2. Найти скалярное произведение векторов а (4,-1,2) и Б (4,0,-6), угол между векторами
Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} = (4, -1, 2) \) и \( \mathbf{b} = (4, 0, -6) \), можно воспользоваться формулой:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]
Где \( a_1, a_2, a_3 \) и \( b_1, b_2, b_3 \) - компоненты векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Подставим значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-6) \]
Выполним вычисления по каждому из членов:
- \( 4 \cdot 4 = 16 \)
- \( (-1) \cdot 0 = 0 \)
- \( 2 \cdot (-6) = -12 \)
Теперь сложим полученные значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 16 + 0 - 12 = 4 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно 4.
Теперь, чтобы найти угол \( \theta \) между векторами, воспользуемся формулой:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
Сначала найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \]
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 0 + 36} = \sqrt{52} \]
Теперь подставим всё в формулу:
\[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{52}} \]
Мы можем упростить \( \sqrt{52} \):
\[ \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Следовательно,
\[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{21} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{21 \cdot 13}} = \frac{2}{\sqrt{273}} \]
Чтобы найти угол \( \theta \), возьмем арккосинус:
\[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{273}}\right) \]
Это и есть угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
