Чтобы найти скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} = (4, -1, 2) ) и ( \mathbf{b} = (4, 0, -6) ), можно воспользоваться формулой:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
]
Где ( a_1, a_2, a_3 ) и ( b_1, b_2, b_3 ) - компоненты векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Подставим значения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-6)
]
Выполним вычисления по каждому из членов:
- ( 4 \cdot 4 = 16 )
- ( (-1) \cdot 0 = 0 )
- ( 2 \cdot (-6) = -12 )
Теперь сложим полученные значения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 16 + 0 - 12 = 4
]
Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 4.
Теперь, чтобы найти угол ( \theta ) между векторами, воспользуемся формулой:
[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
Сначала найдем длины векторов ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ):
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}
]
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 0 + 36} = \sqrt{52}
]
Теперь подставим всё в формулу:
[
\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{52}}
]
Мы можем упростить ( \sqrt{52} ):
[
\sqrt{52} = 2\sqrt{13}
]
Следовательно,
[
\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{21} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{21 \cdot 13}} = \frac{2}{\sqrt{273}}
]
Чтобы найти угол ( \theta ), возьмем арккосинус:
[
\theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{273}}\right)
]
Это и есть угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
