Для решения уравнения (\frac{3x^2 + 26x - 9}{-2x^2 - 17x + 9} = 1), сначала умножим обе стороны на знаменатель, чтобы избавиться от дроби (при условии, что знаменатель не равен нулю):
[3x^2 + 26x - 9 = -2x^2 - 17x + 9]
Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:
[3x^2 + 2x^2 + 26x + 17x - 9 - 9 = 0]
Это приводит нас к:
[5x^2 + 43x - 18 = 0]
Теперь использовать дискриминант для решения квадратного уравнения. Он вычисляется по формуле:
[D = b^2 - 4ac]
где (a = 5), (b = 43), (c = -18).
Подставим значения:
[D = 43^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18)]
[D = 1849 + 360]
[D = 2209]
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]
Подставляем значения:
[x = \frac{-43 \pm \sqrt{2209}}{2 \cdot 5}]
Поскольку (\sqrt{2209} = 47), можно продолжить:
[x = \frac{-43 \pm 47}{10}]
Теперь рассматриваем два случая:
- (x_1 = \frac{-43 + 47}{10} = \frac{4}{10} = 0.4)
- (x_2 = \frac{-43 - 47}{10} = \frac{-90}{10} = -9)
Таким образом, у уравнения есть два корня: (x_1 = 0.4) и (x_2 = -9).
Наименьшее значение (x) — это (-9).
Однако также необходимо проверить, при каких значениях знаменатель (-2x^2 - 17x + 9) равен нулю, чтобы исключить эти корни из решения.
Решим уравнение:
(-2x^2 - 17x + 9 = 0)
Уже известно, что дискриминант этого уравнения также равен (D = (-17)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 9 = 289 + 72 = 361). Находим корни:
[x = \frac{17 \pm 19}{-4}]
- (x_3 = \frac{36}{-4} = -9)
- (x_4 = \frac{-2}{-4} = 0.5)
Это примерно показывает, что значение (x = -9) исключается, так как оно делает знаменатель равным нулю.
Таким образом, остается только (x = 0.4) как допустимое решение.
В конечном итоге, наименьшее допустимое значение (x) для вашего уравнения составляет (0.4).
