При каких значениях x выражение 3x²+26x-9/-2x²-17x+9 равно 1? Если таких значений больше одного, в ответе укажите меньшее.
Для решения уравнения \(\frac{3x^2 + 26x - 9}{-2x^2 - 17x + 9} = 1\), сначала умножим обе стороны на знаменатель, чтобы избавиться от дроби (при условии, что знаменатель не равен нулю):
\[3x^2 + 26x - 9 = -2x^2 - 17x + 9\]
Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[3x^2 + 2x^2 + 26x + 17x - 9 - 9 = 0\]
Это приводит нас к:
\[5x^2 + 43x - 18 = 0\]
Теперь использовать дискриминант для решения квадратного уравнения. Он вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 5\), \(b = 43\), \(c = -18\).
Подставим значения:
\[D = 43^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18)\]
\[D = 1849 + 360\]
\[D = 2209\]
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставляем значения:
\[x = \frac{-43 \pm \sqrt{2209}}{2 \cdot 5}\]
Поскольку \(\sqrt{2209} = 47\), можно продолжить:
\[x = \frac{-43 \pm 47}{10}\]
Теперь рассматриваем два случая:
- \(x_1 = \frac{-43 + 47}{10} = \frac{4}{10} = 0.4\)
- \(x_2 = \frac{-43 - 47}{10} = \frac{-90}{10} = -9\)
Таким образом, у уравнения есть два корня: \(x_1 = 0.4\) и \(x_2 = -9\).
Наименьшее значение \(x\) — это \(-9\).
Однако также необходимо проверить, при каких значениях знаменатель \(-2x^2 - 17x + 9\) равен нулю, чтобы исключить эти корни из решения.
Решим уравнение:
\(-2x^2 - 17x + 9 = 0\)
Уже известно, что дискриминант этого уравнения также равен \(D = (-17)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 9 = 289 + 72 = 361\). Находим корни:
\[x = \frac{17 \pm 19}{-4}\]
- \(x_3 = \frac{36}{-4} = -9\)
- \(x_4 = \frac{-2}{-4} = 0.5\)
Это примерно показывает, что значение \(x = -9\) исключается, так как оно делает знаменатель равным нулю.
Таким образом, остается только \(x = 0.4\) как допустимое решение.
В конечном итоге, наименьшее допустимое значение \(x\) для вашего уравнения составляет \(0.4\).
