Чтобы определить, в каком из предложенных фразеологизмов не входит деепричастие, давайте разберем каждый из них:
Работать спустя рукава - фразеологизм содержит слово "спустя", которое является предлогом, а не деепричастием.
Нестись сломя голову - тут также нет деепричастия, "сломя" – это форма наречия, обозначающая способ действия.
Трудиться в поте лица - в этом фразеологизме также не используется деепричастие, выражение описывает состояние.
Сидеть сложа руки - “сложа” является деепричастием, описывающим действие.
Таким образом, правильный ответ: 1) работать спустя рукава. В этом фразеологизме не содержится деепричастие, как и в остальных предложенных вариантах.