1. Решите уравнение: a) 18-x²=14; 6) x² 6 + 6x = 0 2. Решите уравнения: a) ^ 2 + 3x + 1 =0; 6) a ^ 2 + 7x - 6 =0. 3. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого…
1. Решите уравнение: a) 18-x²=14; 6) x² 6 + 6x = 0 2. Решите уравнения: a) ^ 2 + 3x + 1 =0; 6) a ^ 2 + 7x - 6 =0. 3. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40м . Площадь участка 96 м². Найдите длины сторон участка. ень? X1 4. Решите уравнение: (2х +3) (3x+1) = 11x30. 5. При каких значениях с уравнение x ^ 2 + 2x + с=0 имеет один корнь? ой и х2 корни уравнения х2-4х +3=0. 6. Найдите значение выражения ха 2+x22, не решая уравнения, где ха корень и коэффициент q. 7. В уравнении х²-13х +q=0 один из корней равен 3. Найдите второй
Давайте разберем ваши задания по порядку.
1. Решите уравнение:
а) \( 18 - x^2 = 14 \)
Чтобы решить это уравнение, сначала перенесём все члены в одну сторону:
\[ -x^2 = 14 - 18 \] \[ -x^2 = -4 \] Теперь умножим обе стороны на -1:
\[ x^2 = 4 \] Извлекаем корень из обеих сторон:
\[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Таким образом, решения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
6) \( x^2 + 6x = 0 \)
Факторизуем уравнение:
\[ x(x + 6) = 0 \]
Решаем каждую из частей:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \]
Таким образом, решения: \( x = 0 \) и \( x = -6 \).
2. Решите уравнения:
а) \( x^2 + 3x + 1 = 0 \)
Для этого уравнения используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \]
6) \( a^2 + 7x - 6 = 0 \)
Аналогично, находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{2} \]
3. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40м, площадь участка 96 м². Найдите длины сторон участка.
Обозначим ширину как \( x \), а длину как \( y \). Тогда у нас есть две формулы:
- Периметр: \( 2x + 2y = 40 \) (разделим на 2): \( x + y = 20 \)
- Площадь: \( xy = 96 \)
Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = 20 - x \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ x(20 - x) = 96 \] \[ 20x - x^2 = 96 \] \[ x^2 - 20x + 96 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{20 + 4}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{20 - 4}{2} = 8 \]
Таким образом, стороны участка 12 м и 8 м.
4. Решите уравнение: \((2x + 3)(3x + 1) = 11x + 30\)
Раскроем скобки:
\[ 6x^2 + 2x + 9x + 3 = 11x + 30 \] \[ 6x^2 + 11x + 3 - 11x - 30 = 0 \] \[ 6x^2 - 27 = 0 \implies 6x^2 = 27 \implies x^2 = \frac{27}{6} \implies x^2 = \frac{9}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
5. При каких значениях \( c \) уравнение \( x^2 + 2x + c = 0 \) имеет один корень?
Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
\[ D = b^2 - 4ac = 0 \implies 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0 \] \[ 4 - 4c = 0 \implies c = 1 \]
6. Найдите значение выражения \( x_1^2 + x_2^2 \), не решая уравнения, где \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни.
Используя свойства корней квадратного уравнения, мы знаем:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]
Пусть у нас есть уравнение вида \( x^2 + px + q = 0 \):
- Сумма корней \( S = -p \)
- Произведение корней \( P = q \)
Тогда
\[ x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P \]
7. В уравнении \( x^2 - 13x + q = 0 \) один из корней равен 3. Найдите второй.
Если один из корней равен 3, то, подставив в уравнение, получаем:
\[ 3^2 - 13 \cdot 3 + q = 0 \] \[ 9 - 39 + q = 0 \implies q = 30 \]
Теперь находим второй корень. У нас есть \( x^2 - 13x + 30 = 0 \). Находим дискриминант:
\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{13 + 7}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 - 7}{2} = 3 \]
Первый корень — 10, другой корень, который мы уже знаем, 3.
Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Успехов в учебе!
