Давайте разберем ваши задания по порядку.
1. Решите уравнение:
а) ( 18 - x^2 = 14 )
Чтобы решить это уравнение, сначала перенесём все члены в одну сторону:
[
-x^2 = 14 - 18
]
[
-x^2 = -4
]
Теперь умножим обе стороны на -1:
[
x^2 = 4
]
Извлекаем корень из обеих сторон:
[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2
]
Таким образом, решения: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).
6) ( x^2 + 6x = 0 )
Факторизуем уравнение:
[
x(x + 6) = 0
]
Решаем каждую из частей:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6
]
Таким образом, решения: ( x = 0 ) и ( x = -6 ).
2. Решите уравнения:
а) ( x^2 + 3x + 1 = 0 )
Для этого уравнения используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5
]
Корни уравнения:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}
]
6) ( a^2 + 7x - 6 = 0 )
Аналогично, находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73
]
Корни:
[
x_1 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{2}
]
3. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40м, площадь участка 96 м². Найдите длины сторон участка.
Обозначим ширину как ( x ), а длину как ( y ). Тогда у нас есть две формулы:
- Периметр: ( 2x + 2y = 40 ) (разделим на 2): ( x + y = 20 )
- Площадь: ( xy = 96 )
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 20 - x
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
x(20 - x) = 96
]
[
20x - x^2 = 96
]
[
x^2 - 20x + 96 = 0
]
Находим дискриминант:
[
D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16
]
Корни:
[
x_1 = \frac{20 + 4}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{20 - 4}{2} = 8
]
Таким образом, стороны участка 12 м и 8 м.
4. Решите уравнение: ((2x + 3)(3x + 1) = 11x + 30)
Раскроем скобки:
[
6x^2 + 2x + 9x + 3 = 11x + 30
]
[
6x^2 + 11x + 3 - 11x - 30 = 0
]
[
6x^2 - 27 = 0 \implies 6x^2 = 27 \implies x^2 = \frac{27}{6} \implies x^2 = \frac{9}{2}
]
[
x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}
]
5. При каких значениях ( c ) уравнение ( x^2 + 2x + c = 0 ) имеет один корень?
Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
[
D = b^2 - 4ac = 0 \implies 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0
]
[
4 - 4c = 0 \implies c = 1
]
6. Найдите значение выражения ( x_1^2 + x_2^2 ), не решая уравнения, где ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни.
Используя свойства корней квадратного уравнения, мы знаем:
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
]
Пусть у нас есть уравнение вида ( x^2 + px + q = 0 ):
- Сумма корней ( S = -p )
- Произведение корней ( P = q )
Тогда
[
x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P
]
7. В уравнении ( x^2 - 13x + q = 0 ) один из корней равен 3. Найдите второй.
Если один из корней равен 3, то, подставив в уравнение, получаем:
[
3^2 - 13 \cdot 3 + q = 0
]
[
9 - 39 + q = 0 \implies q = 30
]
Теперь находим второй корень. У нас есть ( x^2 - 13x + 30 = 0 ). Находим дискриминант:
[
D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49
]
Корни:
[
x_1 = \frac{13 + 7}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 - 7}{2} = 3
]
Первый корень — 10, другой корень, который мы уже знаем, 3.
Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Успехов в учебе!
