Давайте решим ваши уравнения последовательно.
Вариант 1
Решите уравнение:
a) ( 12 - x^2 = 11 )
Переносим (11) на другую сторону, получаем:
[
12 - 11 = x^2 \Rightarrow 1 = x^2 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -1.
]
b) ( x^2 - 10x = 0 )
Факторизуем уравнение:
[
x(x - 10) = 0.
]
Это дает корни:
[
x = 0 \text{ или } x = 10.
]
Вариант 2
Решите уравнения:
a) ( x^2 - 5x - 1 = 0 )
Используем формулу корней:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29.
]
Корни:
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}.
]
b) ( 2x^2 - 9x + 4 = 0 )
Считаем дискриминант:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49.
]
Корни:
[
x = \frac{9 \pm 7}{4}.
]
Это дает ( x = 4 ) и ( x = \frac{1}{2} ).
Прямоугольный газон обнесен изгородью длиной 30м. Площадь газона 56м². Найдите длины сторон.
Пусть длина газона ( l ), а ширина ( w ). Мы знаем, что:
[
2(l + w) = 30 \quad \Rightarrow \quad l + w = 15,
]
и
[
lw = 56.
]
Теперь выразим ( w ) через ( l ): ( w = 15 - l ), подставим во второе уравнение:
[
l(15 - l) = 56 \quad \Rightarrow \quad 15l - l^2 = 56 \quad \Rightarrow \quad l^2 - 15l + 56 = 0.
]
Считаем дискриминант:
[
D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot56 = 225 - 224 = 1.
]
Корни:
[
l = \frac{15 \pm 1}{2} \Rightarrow l = 8 \text{ или } l = 7.
]
Следовательно, длины сторон газона: ( 8 \text{ м и } 7 \text{ м} ).
- Решите уравнение: ( x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1) )
Раскроем скобки:
[
(x + 5)(2x - 1) = 2x^2 + 10x - x - 5 = 2x^2 + 9x - 5.
]
Теперь подставим в исходное уравнение:
[
x^2 - 5 = 2x^2 + 9x - 5.
]
Переносим все в одну сторону:
[
0 = 2x^2 + 9x - 5 - x^2 + 5 \Rightarrow 0 = x^2 + 9x.
]
Это дает ( x(x + 9) = 0 ), значит ( x = 0 ) или ( x = -9 ).
- При каких значениях ( k ) уравнение ( x^2 + 2x + k = 0 ) имеет один корень?
Для того, чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 0 \Rightarrow 4 - 4k = 0 \Rightarrow k = 1.
]
- В уравнении ( x^2 + px + 15 = 0 ) один из корней равен -5. Найдите второй корень и коэффициент ( p ).
Если один из корней равен -5, тогда:
[
(-5) + x_2 = -p \quad \text{и} \quad -5 \cdot x_2 = 15.
]
Решает второе уравнение:
[
x_2 = -3.
]
Теперь найдем ( p ):
[
-5 - 3 = -p \Rightarrow p = 8.
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, не стесняйтесь задавать!
