Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для всех сторон одинаково.
Перепишем информацию, которую мы имеем о треугольнике ABC:
- Угол A = 60°
- Угол B = 45°
- Сторона BC = 5√6
Сначала найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:
Угол C = 180° - Угол A - Угол B
Угол C = 180° - 60° - 45°
Угол C = 75°
Теперь применяем теорему синусов:
[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AC}{\sin 45°} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°}
]
Мы знаем, что:
- (\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2})
- (\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2})
Теперь подставим эти значения:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Для упрощения правой части:
[
\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{6}{3}} = 10\sqrt{2}
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}
]
Перепишем это уравнение для нахождения AC:
[
AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10
]
Таким образом, длина стороны AC равна 10.
