треугольнике ABC угол A = 60°, угол B равен, 45° , сторона BC = 5 корней из шести Найдите AC по теореме синусов

Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для всех сторон одинаково.

Перепишем информацию, которую мы имеем о треугольнике ABC:

• Угол A = 60°
• Угол B = 45°
• Сторона BC = 5√6

Сначала найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:

Угол C = 180° - Угол A - Угол B
Угол C = 180° - 60° - 45°
Угол C = 75°

Теперь применяем теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 45°} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} \]

Мы знаем, что:

• \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь подставим эти значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Для упрощения правой части:

\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{6}{3}} = 10\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \]

Перепишем это уравнение для нахождения AC:

\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10 \]

Таким образом, длина стороны AC равна 10.