стрелок стреляет по мишени 5 раз вероятность того что он попадет в мишень равна 0.7 найдите вероятность того что стрелок а) попалает в мишень ровно два раза б) более трех
Для решения этой задачи мы используем биномиальное распределение. Вероятность успеха (попадания в мишень) \( p = 0.7 \), количество выстрелов \( n = 5 \). Вероятность неудачи (попадания мимо) будет \( q = 1 - p = 0.3 \).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний),
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( q \) — вероятность неудачи,
- \( n \) — общее число испытаний (в данном случае, 5),
- \( k \) — число успехов (попаданий).
а) Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно два раза \( (k = 2) \):
\[ P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.7)^2 (0.3)^{5-2} \]
Подсчитаем:
Биномиальный коэффициент: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 2) = 10 \times (0.7)^2 \times (0.3)^3 \] \[ = 10 \times 0.49 \times 0.027 \] \[ = 10 \times 0.013223 = 0.13223 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно два раза, равна примерно 0.1322.
б) Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень более трех раз \( (k > 3) \):
Это равносильно нахождению вероятности ударов 4 и 5:
\[ P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) \]
Рассчитаем \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.7)^4 (0.3)^{5-4} \] \[ = 5 \times (0.7)^4 \times (0.3)^1 \] \[ = 5 \times 0.2401 \times 0.3 \] \[ = 5 \times 0.07203 = 0.36015 \]
Рассчитаем \( P(X = 5) \): \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.7)^5 (0.3)^{5-5} \] \[ = 1 \times (0.7)^5 \times 1 \] \[ = 0.16807 \]
Теперь сложим вероятности:
\[ P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень более трех раз, равна примерно 0.5282.
