Для решения этой задачи мы используем биномиальное распределение. Вероятность успеха (попадания в мишень) ( p = 0.7 ), количество выстрелов ( n = 5 ). Вероятность неудачи (попадания мимо) будет ( q = 1 - p = 0.3 ).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний),
- ( p ) — вероятность успеха,
- ( q ) — вероятность неудачи,
- ( n ) — общее число испытаний (в данном случае, 5),
- ( k ) — число успехов (попаданий).
а) Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно два раза ( (k = 2) ):
[
P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.7)^2 (0.3)^{5-2}
]
Подсчитаем:
Биномиальный коэффициент:
[
\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 2) = 10 \times (0.7)^2 \times (0.3)^3
]
[
= 10 \times 0.49 \times 0.027
]
[
= 10 \times 0.013223 = 0.13223
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно два раза, равна примерно 0.1322.
б) Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень более трех раз ( (k > 3) ):
Это равносильно нахождению вероятности ударов 4 и 5:
[
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)
]
Рассчитаем ( P(X = 4) ):
[
P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.7)^4 (0.3)^{5-4}
]
[
= 5 \times (0.7)^4 \times (0.3)^1
]
[
= 5 \times 0.2401 \times 0.3
]
[
= 5 \times 0.07203 = 0.36015
]
Рассчитаем ( P(X = 5) ):
[
P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.7)^5 (0.3)^{5-5}
]
[
= 1 \times (0.7)^5 \times 1
]
[
= 0.16807
]
Теперь сложим вероятности:
[
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень более трех раз, равна примерно 0.5282.
