Для начала определим, что площадь полной поверхности куба связана со стороной куба. Обозначим сторону куба как ( a ). Площадь полной поверхности куба рассчитывается по формуле:
[
S_{куб} = 6a^2
]
В вашем случае известно, что площадь полной поверхности куба равна 60:
[
6a^2 = 60
]
Теперь решим это уравнение для нахождения стороны куба:
[
a^2 = \frac{60}{6} = 10 \
a = \sqrt{10}
]
Теперь, когда мы знаем сторону куба, можем приступить к вычислению площади полной поверхности вписанного цилиндра. Для начала найдем высоту и радиус основания цилиндра. Вписанный цилиндр будет иметь следующее:
- Радиус основания ( r ) равен половине стороны куба: ( r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} ).
- Высота цилиндра ( h ), в данном случае, равна стороне куба: ( h = a = \sqrt{10} ).
Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра, которая включает площадь оснований и боковую поверхность:
[
S_{цилиндр} = 2S_{основание} + S_{боковая}
]
Площадь основания цилиндра (двух оснований) рассчитывается как:
[
S_{основание} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{10}{4} = \frac{5\pi}{2}
]
Таким образом, площадь двух оснований:
[
2S_{основание} = 2 \cdot \frac{5\pi}{2} = 5\pi
]
Теперь найдем боковую поверхность цилиндра:
[
S_{боковая} = 2\pi r h = 2\pi \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \sqrt{10} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}{2} = 10\pi
]
Таким образом, полная площадь поверхности цилиндра:
[
S_{цилиндр} = 5\pi + 10\pi = 15\pi
]
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна ( 15\pi ).
