Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Чтобы найти объем конуса, отсекаемого плоскостью, проведенной через середину высоты, нужно использовать свойства подобия фигур.

1. Начнем с формулы для объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \] где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота конуса. У нас есть объем всего конуса \( V = 32 \).

2. Высота, отсекаемая плоскостью, равна половине высоты всего конуса. Это значит, что новая высота \( h_1 \) равна \( \frac{h}{2} \).

3. Когда мы отсекаем верхнюю часть конуса плоскостью, мы получаем меньший конус с высотой \( \frac{h}{2} \). Радиус основания такого меньшего конуса \( r_1 \) также уменьшится в два раза (\( r_1 = \frac{r}{2} \)).

4. Теперь можем вычислить объем отсекаемого конуса (меньшего конуса): \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right). \]

5. Подставляем значения: \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2 h}{8} = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right) = \frac{V}{8}. \]

6. Зная, что весь конус имеет объем 32, находим объем меньшего конуса: \[ V_1 = \frac{32}{8} = 4. \]

Таким образом, объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью, равен 4.