Написать каноническое уравнение гиперболы, если а = 4, ξ = 1, 25
Написать каноническое уравнение эллипса, если b = 3, с = 2 при a> b
Для прямой проходящей через точки А (2;1;1), B (3;1;-2) написать каноническое и параметрическое уравнения прямой
Найти производную функции (2х +1)2 + 5(2х+1)
Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -3)
Решить систему уравнений методом Крамера
{ 2х1 + х2 = 5 3х1 + 2х2 = 3
Давайте разберем каждый вопрос по порядку.
1. **Каноническое уравнение гиперболы**:
Гипербола с фокусным расстоянием ξ и полуосью a имеет уравнение вида:
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]
где \(b = a \cdot \sqrt{\xi^2 - 1}\).
Для значений \(a = 4\) и \(\xi = 1.25\) расчет \(b\) будет следующим:
\[b = 4 \cdot \sqrt{1.25^2 - 1} = 4 \cdot \sqrt{1.5625 - 1} = 4 \cdot \sqrt{0.5625} = 4 \cdot 0.75 = 3.\]
Таким образом, каноническое уравнение гиперболы будет выглядеть так:
\[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.\]
2. **Каноническое уравнение эллипса**:
Для эллипса уравнение имеет вид:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\]
где \(a > b\).
При значениях \(b = 3\) и \(c = 2\), используем связь \(c^2 = a^2 - b^2\) для нахождения \(a\):
\[2^2 = a^2 - 3^2 \Rightarrow 4 = a^2 - 9 \Rightarrow a^2 = 4 + 9 = 13.\]
Таким образом, уравнение эллипса будет:
\[\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1.\]
3. **Каноническое и параметрическое уравнения прямой**:
Для прямой, проходящей через точки \(A(2,1,1)\) и \(B(3,1,-2)\), сначала найдем вектор направления:
\[\vec{AB} = (3-2, 1-1, -2-1) = (1, 0, -3).\]
Каноническое уравнение прямой будет:
\[\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{-3}.\]
Параметрические уравнения примем по \(t\):
\[x = 2 + t,\]
\[y = 1,\]
\[z = 1 - 3t.\]
4. **Поиск производной функции**:
Для функции \(f(x) = (2x + 1)^2 + 5(2x + 1)\) используем правило производной суммы и правило произведения.
Записываем производную:
\[f'(x) = 2(2x + 1) \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 4(2x + 1) + 10.\]
Упрощаем:
\[f'(x) = 8x + 4 + 10 = 8x + 14.\]
5. **Каноническое уравнение параболы**:
Для параболы, которая имеет вершину в начале координат и фокус в точке (0, -3), уравнение будет иметь вид:
\[y^2 = 4px,\]
где \(p\) - расстояние от вершины до фокуса. В данном случае \(p = -3\), значит:
\[y^2 = -12x.\]
Директрису можно найти по формуле \(y = -p\), которая в данном случае будет \(y = 3\).
Таким образом, каноническое уравнение параболы:
\[y^2 = -12x\]
и уравнение директрисы:
\[y = 3.\]
6. **Система уравнений методом Крамера**:
Система:
\[
\begin{cases}
2x_1 + x_2 = 5 \\
3x_1 + 2x_2 = 3
\end{cases}
\]
Для решения определим матрицу коэффициентов и знаменатели:
\[D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (1 \cdot 3) = 4 - 3 = 1.\]
Теперь найдем \(D_{x_1}\) и \(D_{x_2}\):
\[D_{x_1} = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2) - (1 \cdot 3) = 10 - 3 = 7,\]
\[D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (5 \cdot 3) = 6 - 15 = -9.\]
Теперь найдем переменные:
\[x_1 = \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{7}{1} = 7,\]
\[x_2 = \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{-9}{1} = -9.\]
Таким образом, решение системы:
\(x_1 = 7,\ x_2 = -9.\)
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!
