1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 1/2 Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 4 успеха, а затем - 2…

Давайте разберем каждую из ваших задач поочередно.

1. Вероятность элементарного события с 4 успехами, а затем 2 неудачами в 6 испытаниях.

Для начала, такое событие можно обозначить как "UUUUNN", где "U" - успех, а "N" - неудача. Порядок событий здесь важен, и согласно условиям задачи, у нас 4 успеха (U) и 2 неудачи (N).

Вероятность успеха в одном испытании равна \( p = \frac{1}{2} \). Вероятность неудачи также будет равна \( q = 1 - p = \frac{1}{2} \).

Вероятность такого конкретного события можно вычислить по формуле:

\[ P = p^4 \times q^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \]

Таким образом, вероятность элементарного события, в котором случается сначала 4 успеха, а затем 2 неудачи, равна \(\frac{1}{64}\).

2. Количество элементарных событий с 6 успехами в серии из 10 испытаний.

Здесь мы используем формулу комбинаций для нахождения количества способов, которыми можно выбрать 6 успехов из 10 испытаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество испытаний, а \( k \) — количество успехов. В нашем случае \( n = 10 \) и \( k = 6 \):

\[ C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Таким образом, существует 210 элементарных событий с 6 успехами в серии из 10 испытаний.

3. Вероятность выбросить ровно 4 орла за 10 бросков монеты.

Мы будем использовать ту же формулу для вычисления количества сочетаний и вероятность каждого исхода. Количество способов, которыми можно получить 4 орла из 10 бросков будет:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Вероятность же одного конкретного исхода (4 орла и 6 решек) равна:

\[ P = p^4 \times q^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \]

Таким образом, общая вероятность 4 орлов в 10 бросках будет:

\[ P(4 \text{ орла}) = C(10, 4) \times P = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \]

Итак, вероятность выбросить ровно 4 орла, бросив монету 10 раз, равна \(\frac{105}{512}\).