Чтобы найти сумму первых 9 членов геометрической прогрессии, в которой ( b_2 = 0.08 ) и ( b_5 = 0.64 ), начнем с определения общего члена геометрической прогрессии.
Общий член геометрической прогрессии можно выразить как:
[
b_n = a \cdot r^{n-1}
]
где ( a ) - первый член прогрессии, ( r ) - знаменатель прогрессии, а ( n ) - номер члена.
Для первого и второго членов прогрессии имеем:
[
b_2 = a \cdot r^{1} = 0.08
]
[
b_5 = a \cdot r^{4} = 0.64
]
Теперь выразим ( b_5 ) через ( b_2 ):
[
b_5 = b_2 \cdot r^3
]
Подставим значения:
[
0.64 = 0.08 \cdot r^3
]
Разделим обе стороны уравнения на ( 0.08 ):
[
r^3 = \frac{0.64}{0.08} = 8
]
Теперь найдем ( r ):
[
r = \sqrt[3]{8} = 2
]
Теперь подставим ( r ) обратно в уравнение для ( b_2 ) и найдем ( a ):
[
0.08 = a \cdot 2^{1}
]
[
a = \frac{0.08}{2} = 0.04
]
Теперь у нас есть первый член ( a = 0.04 ) и знаменатель ( r = 2 ).
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
]
Для первых 9 членов:
[
S_9 = 0.04 \cdot \frac{2^9 - 1}{2 - 1} = 0.04 \cdot (512 - 1) = 0.04 \cdot 511 = 20.44
]
Таким образом, сумма первых 9 членов геометрической прогрессии равна ( 20.44 ).
