Известно, что АВС относится к А1В1С1 как 1,4 причём А = А1, В = В1. Найдите стороны треугольников АВС и А1В1С1, если АВ + А1В1 = 36 см и АВ : ВС : АС = 3:7:8.

Давайте обозначим стороны треугольника \( ABC \) как \( AB = 3x \), \( BC = 7x \), \( AC = 8x \), где \( x \) — некоторый коэффициент.

Сначала мы найдем длины сторон треугольника \( ABC \): \[ AB + BC + AC = 3x + 7x + 8x = 18x. \]

Теперь давайте определим длину стороны \( AB + A_1B_1 \): \[ AB + A_1B_1 = 36 \text{ см}. \]

Так как известно, что треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) относятся как 1,4, можем записать соотношения между сторонами: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{1}{4}. \]

Обозначим стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \) как \( A_1B_1 = k \), \( B_1C_1 = 4k \), \( A_1C_1 = 4k \). Теперь подставим в уравнение \( AB + A_1B_1 = 36 \): \[ 3x + k = 36. \]

Теперь найдем остальные стороны: \[ BC = 7x = 7(36 - k) / 3, \] \[ AC = 8x = 8(36 - k) / 3. \]

Требуется выразить \( k \) через \( x \): \[ k = 36 - 3x. \]

Теперь используем соотношения \( BC \) и \( A_1B_1 \): \[ A_1B_1 = k = \frac{1}{4}BC \implies k = \frac{1}{4}(7x). \]

Теперь подставим \( k \) в уравнение: \[ 36 - 3x = \frac{7x}{4}. \]

Умножим все уравнение на 4: \[ 4(36) - 12x = 7x. \] \[ 144 = 19x \implies x = \frac{144}{19} \approx 7.58. \]

Теперь подставим \( x \) обратно для нахождения длины сторон \( ABC \): \[ AB = 3x = 3 \cdot \frac{144}{19} \approx 22.74 \text{ см}, \] \[ BC = 7x = 7 \cdot \frac{144}{19} \approx 53.65 \text{ см}, \] \[ AC = 8x = 8 \cdot \frac{144}{19} \approx 60.84 \text{ см}. \]

Теперь можем найти стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \): \[ A_1B_1 = k = 36 - 3x = 36 - 22.74 \approx 13.26 \text{ см}. \] \[ B_1C_1 = 4k = 4 \cdot 13.26 \approx 53.04 \text{ см}. \] \[ A_1C_1 = 4k = 4 \cdot 13.26 \approx 53.04 \text{ см}. \]

Таким образом, стороны треугольника \( ABC \) приблизительно равны 22.74 см, 53.65 см, 60.84 см, и стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \) приблизительно равны 13.26 см, 53.04 см, 53.04 см.