Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим собственную скорость баржи как ( v ) км/ч.
- Скорость баржи по течению: ( v + 5 ) км/ч (поскольку течение реки добавляет к скорости баржи).
- Скорость баржи против течения: ( v - 5 ) км/ч.
Теперь, посчитаем время, которое баржа затратила на каждую часть пути.
Время, затраченное на путь по течению (84 км):
[
t_1 = \frac{84}{v + 5}
]
Время, затраченное на путь против течения (66 км):
[
t_2 = \frac{66}{v - 5}
]
Согласно условию задачи, общее время пути составило 10 часов:
[
t_1 + t_2 = 10
]
Подставим выражения для времени и получим уравнение:
[
\frac{84}{v + 5} + \frac{66}{v - 5} = 10
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ((v + 5)(v - 5)) для устранения дробей:
[
84(v - 5) + 66(v + 5) = 10(v^2 - 25)
]
Раскроем скобки:
[
84v - 420 + 66v + 330 = 10v^2 - 250
]
Объединим подобные:
[
150v - 90 = 10v^2 - 250
]
Переносим все на одну сторону:
[
10v^2 - 150v - 160 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 10:
[
v^2 - 15v - 16 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь (a = 1), (b = -15), (c = -16):
[
v = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}
]
[
v = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2}
]
[
v = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2}
]
[
v = \frac{15 \pm 17}{2}
]
Теперь вычислим два возможных значения:
- ( v_1 = \frac{32}{2} = 16 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 ) км/ч (это значение не подходит, поскольку скорость не может быть отрицательной).
Таким образом, собственная скорость баржи равна:
[
\boxed{16}
]
