Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч.

1. Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч (поскольку течение реки добавляет к скорости баржи).
2. Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Теперь, посчитаем время, которое баржа затратила на каждую часть пути.

• Время, затраченное на путь по течению (84 км): \[ t_1 = \frac{84}{v + 5} \]

• Время, затраченное на путь против течения (66 км): \[ t_2 = \frac{66}{v - 5} \]

Согласно условию задачи, общее время пути составило 10 часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \]

Подставим выражения для времени и получим уравнение: \[ \frac{84}{v + 5} + \frac{66}{v - 5} = 10 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \((v + 5)(v - 5)\) для устранения дробей: \[ 84(v - 5) + 66(v + 5) = 10(v^2 - 25) \]

Раскроем скобки: \[ 84v - 420 + 66v + 330 = 10v^2 - 250 \]

Объединим подобные: \[ 150v - 90 = 10v^2 - 250 \]

Переносим все на одну сторону: \[ 10v^2 - 150v - 160 = 0 \]

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 10: \[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = -16\): \[ v = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} \] \[ v = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} \] \[ v = \frac{15 \pm 17}{2} \]

Теперь вычислим два возможных значения:

1. \( v_1 = \frac{32}{2} = 16 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч (это значение не подходит, поскольку скорость не может быть отрицательной).

Таким образом, собственная скорость баржи равна: \[ \boxed{16} \]