Чтобы решить систему уравнений:
- ( x^2 + 3xy = 361 )
- ( x - 5y = 19 )
Начнём с того, что выразим ( y ) из второго уравнения:
[
x - 5y = 19 \implies 5y = x - 19 \implies y = \frac{x - 19}{5}
]
Теперь подставим выражение для ( y ) в первое уравнение:
[
x^2 + 3x\left(\frac{x - 19}{5}\right) = 361
]
Упростим:
[
x^2 + \frac{3x(x - 19)}{5} = 361
]
Умножим всю уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:
[
5x^2 + 3x(x - 19) = 1805
]
Раскроем скобки:
[
5x^2 + 3x^2 - 57x = 1805
]
Соберем все члены в одном уравнении:
[
8x^2 - 57x - 1805 = 0
]
Теперь применим дискриминант для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1805)
]
[
D = 3249 + 57840 = 61089
]
Теперь, найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm \sqrt{61089}}{16}
]
Сначала найдем ( \sqrt{61089} ):
[
\sqrt{61089} = 247
]
Теперь подставим значение дискриминанта:
[
x = \frac{57 \pm 247}{16}
]
Посчитаем два корня:
- ( x_1 = \frac{304}{16} = 19 )
- ( x_2 = \frac{-190}{16} = -11.875 )
Теперь подставим найденные значения ( x ) обратно в уравнение для ( y ):
Для ( x = 19 ):
[
y = \frac{19 - 19}{5} = 0
]
Для ( x = -11.875 ):
[
y = \frac{-11.875 - 19}{5} = \frac{-30.875}{5} = -6.175
]
Таким образом, у нас есть два решения:
[
(19, 0) \quad \text{и} \quad (-11.875, -6.175)
]
Ответы по значениям ( x ) в порядке возрастания:
[
-11.875, 19
]
