Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой для расчета собственного резонансного частоты колебательного контура:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
где:
- ( f ) — резонансная частота в герцах (Гц),
- ( L ) — индуктивность катушки в генри (Гн),
- ( C ) — ёмкость конденсатора в фарадах (Ф).
Из данной информации мы знаем, что индуктивность ( L = 20 , \mu H = 20 \times 10^{-6} , H ), а ёмкость конденсатора изменяется от ( C_1 = 50 , pF = 50 \times 10^{-12} , F ) до ( C_2 = 500 , pF = 500 \times 10^{-12} , F ).
Теперь можно рассчитать резонансные частоты для обоих значений ёмкости.
- Для ( C_1 = 50 , pF ):
[
f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot 50 \times 10^{-12}}}
]
[
= \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-16}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-8}} \approx 15.92 , MHz
]
- Для ( C_2 = 500 , pF ):
[
f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot 500 \times 10^{-12}}}
]
[
= \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-15}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-7.5}} \approx 7.98 , MHz
]
Теперь, чтобы определить диапазон длин волн, используем формулу для расчета длины волны:
[
\lambda = \frac{c}{f}
]
где:
- ( \lambda ) — длина волны в метрах (м),
- ( c ) — скорость света в вакууме (( c \approx 3 \times 10^8 , m/s )),
- ( f ) — частота в герцах (Гц).
Теперь рассчитаем длины волн для ( f_1 ) и ( f_2 ):
- Для ( f_1 ):
[
\lambda_1 = \frac{c}{f_1} = \frac{3 \times 10^8}{15.92 \times 10^6} \approx 18.8 , m
]
- Для ( f_2 ):
[
\lambda_2 = \frac{c}{f_2} = \frac{3 \times 10^8}{7.98 \times 10^6} \approx 37.5 , m
]
Таким образом, диапазон длин волн, в котором может работать приёмник, составляет примерно от 18.8 м до 37.5 м.
