Давайте рассмотрим задачу о убывающей арифметической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как ( a ), а разность как ( d ). В таком случае, члены прогрессии можно записать так:
- Первый член: ( a )
- Второй член: ( a - d )
- Третий член: ( a - 2d )
- Четвёртый член: ( a - 3d )
Согласно условиям задачи, сумма первого и четвёртого членов равна 0:
[
a + (a - 3d) = 0
]
Упрощая это уравнение, мы получаем:
[
2a - 3d = 0
]
Таким образом, можно выразить ( d ) через ( a ):
[
3d = 2a \quad \Rightarrow \quad d = \frac{2a}{3}
]
Теперь рассмотрим второе условие: произведение второго и третьего членов равно -1:
[
(a - d)(a - 2d) = -1
]
Подставим выражение для ( d ):
[
\left(a - \frac{2a}{3}\right)\left(a - 2\cdot\frac{2a}{3}\right) = -1
]
Упрощаем оба члена:
Первый член:
[
a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}
]
Второй член:
[
a - \frac{4a}{3} = -\frac{a}{3}
]
Таким образом, произведение будет:
[
\frac{a}{3} \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) = -\frac{a^2}{9}
]
Согласно условию, это равно -1:
[
-\frac{a^2}{9} = -1
]
Теперь избавимся от минуса и умножим обе стороны на 9:
[
a^2 = 9
]
Следовательно,
[
a = 3 \quad \text{или} \quad a = -3
]
Так как прогрессия убывающая, мы предполагаем, что ( a ) положителен. Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен:
[
\boxed{3}
]
