Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных, которые нам даны:

У нас есть распределение баллов участников олимпиады и количество участников, соответствующее каждому диапазону баллов.

Баллы / Диапазоны

• 3-5: 10 участников
• 5-7: 35 участников
• 7-9: 43 участника
• 9-11: 22 участника
• 11-13: 15 участников
• 13-15: 5 участников

1. Находим средний балл участников.

Для нахождения среднего балла (обычно обозначаемого как \(\bar{x}\)), мы можем использовать формулу:

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N} \]

где \(x_i\) - середина интервала, \(f_i\) - количество участников, \(N\) - общее число участников.

Сначала определим середины интервалов:

• Для диапазона 3-5: \((3 + 5)/2 = 4\)
• Для диапазона 5-7: \((5 + 7)/2 = 6\)
• Для диапазона 7-9: \((7 + 9)/2 = 8\)
• Для диапазона 9-11: \((9 + 11)/2 = 10\)
• Для диапазона 11-13: \((11 + 13)/2 = 12\)
• Для диапазона 13-15: \((13 + 15)/2 = 14\)

Теперь посчитаем \(\sum (x_i \cdot f_i)\):

\[ (4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) + (14 \cdot 5) \] \[ = 40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70 = 1064 \]

Общее количество участников \(N\):

\[ 10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5 = 130 \]

Теперь можем найти средний балл:

\[ \bar{x} = \frac{1064}{130} \approx 8.18 \]

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии.

Несмещённая оценка генеральной дисперсии (\(S^2\)) вычисляется по формуле:

\[ S^2 = \frac{\sum (f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \]

Сначала нам нужно calculate each \((x_i - \bar{x})^2\):

• Для \(4\): \((4 - 8.18)^2 \approx 17.88\)
• Для \(6\): \((6 - 8.18)^2 \approx 4.82\)
• Для \(8\): \((8 - 8.18)^2 \approx 0.03\)
• Для \(10\): \((10 - 8.18)^2 \approx 3.29\)
• Для \(12\): \((12 - 8.18)^2 \approx 14.74\)
• Для \(14\): \((14 - 8.18)^2 \approx 33.69\)

Теперь найдем \(\sum (f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)\):

\[ (10 \cdot 17.88) + (35 \cdot 4.82) + (43 \cdot 0.03) + (22 \cdot 3.29) + (15 \cdot 14.74) + (5 \cdot 33.69) \]

\[ = 178.8 + 168.7 + 1.29 + 72.38 + 221.1 + 168.45 \approx 810.02 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ S^2 = \frac{810.02}{130 - 1} = \frac{810.02}{129} \approx 6.28 \]

3. Находим моду.

Мода - это значение, которое встречается чаще всего. В данном случае диапазон с наибольшим количеством участников - это 5-7, с 35 участниками. Таким образом, мода равна 6 (середина диапазона).

4. Находим медиану.

Чтобы найти медиану, нужно определить, в каком интервале находятся 65 участников (половина от 130). Считаем:

• 10 (3-5)
• 35 (5-7) - всего 45
• 43 (7-9) - всего 88

Медиана находится в интервале 7-9. Теперь находим точное значение. Сначала определим, сколько участников нужно в интервале 7-9:

\(65 - 45 = 20\) участников.

Поскольку это равномерное распределение, можно сказать, что медиана будет в середине этого диапазона:

\((7 + 9) / 2 = 8\).

Итоговые результаты:

• Средний балл участников: \(\approx 8.18\)
• Несмещенная оценка генеральной дисперсии: \(\approx 6.28\)
• Мода: \(6\)
• Медиана: \(8\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение по какому-то из пунктов, не стесняйтесь обращаться!