Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Для того чтобы найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану, давайте поэтапно рассмотрим каждую из этих величин.

Данные

У нас есть интервалы баллов и количество участников в каждом интервале:

• Баллы:
  3-5: 10 участников
  5-7: 35 участников
  7-9: 43 участника
  9-11: 22 участника
  11-13: 15 участников
  13-15: 5 участников

1. Средний балл

Для нахождения среднего балла необходимо найти среднее значение для каждого интервала, умножить на количество участников в этом интервале, а затем разделить общую сумму на общее количество участников.

Шаги:

• Определяем значение для каждого интервала (среднее значение):

  • 3-5: (3 + 5) / 2 = 4
  • 5-7: (5 + 7) / 2 = 6
  • 7-9: (7 + 9) / 2 = 8
  • 9-11: (9 + 11) / 2 = 10
  • 11-13: (11 + 13) / 2 = 12
  • 13-15: (13 + 15) / 2 = 14

• Умножаем на количество участников:

  • 4 × 10 = 40
  • 6 × 35 = 210
  • 8 × 43 = 344
  • 10 × 22 = 220
  • 12 × 15 = 180
  • 14 × 5 = 70

• Суммируем результаты: \[ 40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70 = 1064 \]

• Общее количество участников: \[ 10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5 = 130 \]

• Средний балл: \[ \text{Средний балл} = \frac{1064}{130} \approx 8.18 \]

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии

Для вычисления несмещенной оценки дисперсии мы используем формулу: \[ S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N - 1} \] где \(x_i\) — среднее значение интервала, \(\bar{x}\) — средний балл, \(n_i\) — количество участников в интервале, и \(N\) — общее количество участников.

Расчёт:

1. Находим отклонение для каждого интервала:

   • Для интервала 3-5: \((4 - 8.18)^2 \times 10 = 17.59\)
   • Для интервала 5-7: \((6 - 8.18)^2 \times 35 = 18.83\)
   • Для интервала 7-9: \((8 - 8.18)^2 \times 43 = 0.77\)
   • Для интервала 9-11: \((10 - 8.18)^2 \times 22 = 6.73\)
   • Для интервала 11-13: \((12 - 8.18)^2 \times 15 = 23.82\)
   • Для интервала 13-15: \((14 - 8.18)^2 \times 5 = 15.86\)

2. Суммируем все отклонения: \[ 17.59 + 18.83 + 0.77 + 6.73 + 23.82 + 15.86 = 83.6 \]

3. Подставляем в формулу: \[ S^2 = \frac{83.6}{130 - 1} = \frac{83.6}{129} \approx 0.65 \]

3. Мода

Мода — это значение, которое встречается наибольшее количество раз. В данном случае это интервал 7-9, так как у него наибольшее количество участников (43).

4. Медиана

Чтобы найти медиану, нужно определить, в каком интервале находится 65-й участник (половина от 130).

• Суммируем участников по интервалам:
  • 3-5: 10 участников
  • 5-7: 35 участников (всего 45)
  • 7-9: 43 участника (всего 88)

Медиана будет находиться в интервале 7-9, так как 65-й участник падает на этот интервал.

Результаты

• Средний балл: примерно 8.18
• Несмещенная дисперсия: примерно 0.65
• Мода: интервал 7-9
• Медиана: интервал 7-9

Если нужны дополнительные пояснения или примеры, не стесняйтесь задавать вопросы!