Чтобы доказать, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны, воспользуемся следующими свойствами и аргументами.
Обозначим наш выпуклый четырехугольник как (ABCD), где углы обозначены как ( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D). Предположим, что:
[
\angle A = \angle C \quad \text{и} \quad \angle B = \angle D
]
Сумма углов в любом четырехугольнике равна (360^\circ):
[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
]
Подставим равенства углов:
[
\angle A + \angle B + \angle A + \angle B = 360^\circ
]
Это можно упростить до:
[
2\angle A + 2\angle B = 360^\circ
]
Разделим всё на 2:
[
\angle A + \angle B = 180^\circ
]
Таким образом, сумма углов (A) и (B) равна (180^\circ). Это означает, что угол (A) и угол (B) являются сопутствующими углами.
Для четырехугольника, у которого соперничные углы составляют (180^\circ), выполняется следующее: если два соприкасающихся угла (например, (A) и (B)) равны, то стороны, противолежащие этим углам, будут параллельны. Поэтому:
[
AB \parallel CD \quad \text{и} \quad AD \parallel BC
]
Согласно определению параллелограмма: если в четырехугольнике параллельны две пары противоположных сторон, то это четерехугольник является параллелограммом.
Таким образом, мы можем утверждать, что если в выпуклом четырехугольнике (ABCD) противоположные углы попарно равны, то он является параллелограммом.
Таким образом, теорема доказана.
