Рассмотрим данную задачу как классическую задачу о Bernoulli. Стрелок делает выстрелы по мишени, где вероятность попадания в цель составляет ( p = 0,6 ), а вероятность промаха будет ( q = 1 - p = 0,4 ). Мы будем использовать формулу геометрического распределения для вычисления вероятностей.
а) Мы ищем вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток, то есть он промахнется 4 раза и попадет в целевую мишень с 5-го выстрела. Вероятность этого события можно рассчитать по формуле:
[
P(X = k) = q^{k-1} \cdot p
]
где ( k ) - количество попыток (в нашем случае 5), ( p ) - вероятность успеха (попадание), а ( q ) - вероятность неуспеха (промах).
Подставим значения:
[
P(X = 5) = (0,4)^{5-1} \cdot 0,6 = (0,4)^4 \cdot 0,6
]
Сначала вычислим ( (0,4)^4 ):
[
(0,4)^4 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,0256
]
Теперь подставим это значение:
[
P(X = 5) = 0,0256 \cdot 0,6 = 0,01536
]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток, равна 0,01536 или 1,536%.
б) Теперь мы ищем вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток. Это означает, что стрелок может попасть в мишень на 2-ом, 3-ем или 4-ом выстреле. Мы можем посчитать каждую вероятность по отдельности и затем сложить их.
- Вероятность получить успех на 2-м выстреле:
[
P(X = 2) = (0,4)^{2-1} \cdot 0,6 = (0,4)^1 \cdot 0,6 = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24
]
- Вероятность получить успех на 3-м выстреле:
[
P(X = 3) = (0,4)^{3-1} \cdot 0,6 = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096
]
- Вероятность получить успех на 4-м выстреле:
[
P(X = 4) = (0,4)^{4-1} \cdot 0,6 = (0,4)^3 \cdot 0,6 = 0,064 \cdot 0,6 = 0,0384
]
Теперь сложим все вероятности:
[
P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,24 + 0,096 + 0,0384
]
Теперь произведём вычисления:
[
P(2 \leq X \leq 4) = 0,24 + 0,096 + 0,0384 = 0,3744
]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, составляет 0,3744 или 37,44%.
