Для решения задачи будем использовать теорему Байеса, которая поможет найти вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, произошло из первого хозяйства.
Обозначим:
- ( A_1 ) — событие, что яйцо из первого хозяйства.
- ( A_2 ) — событие, что яйцо из второго хозяйства.
- ( B ) — событие, что яйцо высшей категории.
Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:
- Вероятность, что яйцо из первого хозяйства: ( P(A_1) ).
- Вероятность, что яйцо из второго хозяйства: ( P(A_2) ).
- Вероятность, что яйцо высшей категории из первого хозяйства: ( P(B|A_1) = 0.05 ).
- Вероятность, что яйцо высшей категории из второго хозяйства: ( P(B|A_2) = 0.30 ).
- Вероятность, что яйцо высшей категории в агрофирме: ( P(B) = 0.15 ).
Предположим, что яйца поступают в равных долях из обоих хозяйств, т.е. ( P(A_1) = P(A_2) = 0.5 ).
Теперь найдём ( P(B) ) через закон полной вероятности:
[
P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2).
]
Подставим известные значения:
[
P(B) = 0.05 \cdot 0.5 + 0.30 \cdot 0.5 = 0.025 + 0.15 = 0.175,
]
Однако ( P(B) = 0.15 ) по условию задачи.
Теперь используя формулу Байеса, находим ( P(A_1|B) ):
[
P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}.
]
Подставим известные значения:
[
P(A_1|B) = \frac{0.05 \cdot 0.5}{0.15} = \frac{0.025}{0.15} = \frac{1}{6}.
]
Таким образом, вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства, составляет ( \frac{1}{6} ) или приблизительно 0.167 (16.7%).
