В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин. Летом число отдыхающих мужчин уменьшилось на 10 %, число женщин увеличилось на 20 %, а их общее число увели- чи лось на 75…

Давайте внимательно разберем задачу.

Сначала обозначим количество мужчин и женщин в санатории зимой. Пусть количество мужчин равно \( x \), а количество женщин будет \( y \). Согласно условиям задачи, у нас есть:

1. \( x + y = 1200 \) (общее количество отдыхающих)

Теперь рассмотрим изменения, произошедшие летом:

• Количество мужчин уменьшилось на 10%. Это значит, что летом их осталось \( x - 0.1x = 0.9x \).
• Количество женщин увеличилось на 20%. Летом их стало \( y + 0.2y = 1.2y \).
• Общее количество отдыхающих увеличилось на 75 человек. Таким образом, летом общее количество отдыхающих составляет \( 0.9x + 1.2y = 1200 + 75 = 1275 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x + y = 1200 \)
2. \( 0.9x + 1.2y = 1275 \)

Решим эту систему.

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = 1200 - x \).

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:

\( 0.9x + 1.2(1200 - x) = 1275 \).

Решим это уравнение:

\( 0.9x + 1440 - 1.2x = 1275 \)

Соберем все \( x \) в одной части уравнения:

\( -0.3x + 1440 = 1275 \)

Теперь вычтем 1440 из обеих сторон:

\( -0.3x = 1275 - 1440 \)

\( -0.3x = -165 \)

Умножим обе стороны на \(-1\):

\( 0.3x = 165 \)

Теперь разделим обе стороны на \( 0.3 \):

\( x = \frac{165}{0.3} = 550 \).

Таким образом, количество мужчин \( x = 550 \).

Теперь подставим \( x \) обратно в уравнение для нахождения \( y \):

\( y = 1200 - x = 1200 - 550 = 650 \).

Летнее количество мужчин и женщин:

• Мужчины: \( 0.9x = 0.9 \times 550 = 495 \).
• Женщины: \( 1.2y = 1.2 \times 650 = 780 \).

Таким образом, летом в санатории отдыхали 495 мужчин и 780 женщин.