В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин. Летом число отдыхающих мужчин уменьшилось на 10 %, число женщин увеличилось на 20 %, а их общее число увели- чи лось на 75 человек. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхали в санатории летом?

Давайте внимательно разберем задачу. Сначала обозначим количество мужчин и женщин в санатории зимой. Пусть количество мужчин равно \( x \), а количество женщин будет \( y \). Согласно условиям задачи, у нас есть: 1. \( x + y = 1200 \) (общее количество отдыхающих) Теперь рассмотрим изменения, произошедшие летом: - Количество мужчин уменьшилось на 10%. Это значит, что летом их осталось \( x - 0.1x = 0.9x \). - Количество женщин увеличилось на 20%. Летом их стало \( y + 0.2y = 1.2y \). - Общее количество отдыхающих увеличилось на 75 человек. Таким образом, летом общее количество отдыхающих составляет \( 0.9x + 1.2y = 1200 + 75 = 1275 \). Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( x + y = 1200 \) 2. \( 0.9x + 1.2y = 1275 \) Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 1200 - x \). Теперь подставим \( y \) во второе уравнение: \( 0.9x + 1.2(1200 - x) = 1275 \). Решим это уравнение: \( 0.9x + 1440 - 1.2x = 1275 \) Соберем все \( x \) в одной части уравнения: \( -0.3x + 1440 = 1275 \) Теперь вычтем 1440 из обеих сторон: \( -0.3x = 1275 - 1440 \) \( -0.3x = -165 \) Умножим обе стороны на \(-1\): \( 0.3x = 165 \) Теперь разделим обе стороны на \( 0.3 \): \( x = \frac{165}{0.3} = 550 \). Таким образом, количество мужчин \( x = 550 \). Теперь подставим \( x \) обратно в уравнение для нахождения \( y \): \( y = 1200 - x = 1200 - 550 = 650 \). Летнее количество мужчин и женщин: - Мужчины: \( 0.9x = 0.9 \times 550 = 495 \). - Женщины: \( 1.2y = 1.2 \times 650 = 780 \). Таким образом, летом в санатории отдыхали 495 мужчин и 780 женщин.