Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим количество мужчин и женщин, которые отдыхали в санатории зимой, как ( M ) и ( W ) соответственно. Согласно условию, у нас есть следующие уравнения:
Общее количество отдыхающих зимой:
[
M + W = 1200
]
Летом количество мужчин уменьшилось на 10%, то есть их осталось ( 0.9M ).
Количество женщин увеличилось на 20%, то есть их стало ( 1.2W ).
Общее количество отдыхающих летом увеличилось на 75 человек:
[
0.9M + 1.2W = 1200 + 75 = 1275
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{cases}
M + W = 1200 \
0.9M + 1.2W = 1275
\end{cases}
]
Давайте выразим ( W ) из первого уравнения:
[
W = 1200 - M
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
0.9M + 1.2(1200 - M) = 1275
]
Раскроем скобки:
[
0.9M + 1440 - 1.2M = 1275
]
Соберем подобные члены:
[
-0.3M + 1440 = 1275
]
Вычтем 1440 из обеих сторон:
[
-0.3M = 1275 - 1440
]
[
-0.3M = -165
]
Теперь разделим обе стороны на -0.3:
[
M = \frac{-165}{-0.3} = 550
]
Теперь найдем количество женщин, подставив ( M ) обратно в первое уравнение:
[
W = 1200 - 550 = 650
]
Таким образом, в санатории летом отдыхали:
- Мужчин: ( 0.9 \times 550 = 495 )
- Женщин: ( 1.2 \times 650 = 780 )
Поэтому ответ:
- Количество мужчин: 495
- Количество женщин: 780
