На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них 10 м², другого 8 м², третьего 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола…
На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них 10 м², другого 8 м², третьего 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола покрытого всеми тремя коврами, составляет ровно 1 м². Найдите площадь которая: а) покрыта коврами, б) покрыта 1 и 2 ковром, но не покрыта третьим ковром, в) покрыта только первым ковром, г) не покрыта коврами.
Чтобы решить задачу, воспользуемся принципом включения-исключения для нахождения различных площадей, покрытых коврами.
Обозначим:
- \( S_1 = 10 \, \text{m}^2 \) — площадь первого ковра,
- \( S_2 = 8 \, \text{m}^2 \) — площадь второго ковра,
- \( S_3 = 6 \, \text{m}^2 \) — площадь третьего ковра,
- \( S_{12} = 3 \, \text{m}^2 \) — площадь перекрытия первого и второго ковра,
- \( S_{13} = 3 \, \text{m}^2 \) — площадь перекрытия первого и третьего ковра,
- \( S_{23} = 3 \, \text{m}^2 \) — площадь перекрытия второго и третьего ковра,
- \( S_{123} = 1 \, \text{m}^2 \) — площадь перекрытия всех трех ковров.
Теперь применим формулу для вычисления площади, покрытой коврами:
\[ S = S_1 + S_2 + S_3 - S_{12} - S_{13} - S_{23} + S_{123} \]
Подставим значения:
\[ S = 10 + 8 + 6 - 3 - 3 - 3 + 1 = 10 + 8 + 6 - 9 + 1 = 13 \, \text{m}^2 \]
Теперь найдем искомые площади:
а) Площадь, покрытая коврами: \[ S = 13 \, \text{m}^2 \]
б) Площадь, покрытая 1 и 2 ковром, но не покрытая третьим ковром: Эта площадь равна площади первого и второго ковров за вычетом перекрытия с третьим ковром и учитывая перекрытие между первым и вторым. Площадь будет следующей:
- Площадь первого и второго ковров: \( S_1 + S_2 - S_{12} \)
- Вычитаем перекрытие с третьим ковром: \( - S_{13} - S_{23} + S_{123} \)
\[ S_{12, \neg 3} = S_1 + S_2 - S_{12} - S_{23} + S_{123} \]
Однако нужно вычесть площадь перекрытия со всеми тремя коврами:
\[ = S_1 + S_2 - S_{12} - S_{23} + S_{123} = 10 + 8 - 3 - 3 + 1 = 13 \, \text{m}^2 - (S_{13} + S_{23} - S_{123})= 10 + 8 - 3 - 3 - 1 = 11 \, \text{m}^2 \]
в) Площадь, покрытая только первым ковром: Для нахождения этой площади, используем:
\[ S_{1, \text{только}} = S_1 - S_{12} - S_{13} + S_{123} \]
Подставим значения:
\[ S_{1, \text{только}} = 10 - 3 - 3 + 1 = 5 \, \text{m}^2 \]
г) Площадь, не покрытая коврами: Площадь пола составляет 24 м², поэтому мы можем найти площадь, не покрытую коврами, следующим образом:
\[ S_{\neg} = S_{пол} - S = 24 - 13 = 11 \, \text{m}^2 \]
Итак, результаты:
а) Площадь, покрытая коврами: \( 13 \, \text{m}^2 \)
б) Площадь, покрытая 1 и 2 ковром, но не покрытая 3-м: \( 11 \, \text{m}^2 \)
в) Площадь, покрытая только первым ковром: \( 5 \, \text{m}^2 \)
г) Площадь, не покрытая коврами: \( 11 \, \text{m}^2 \)
